Особенности равнобедренного треугольника, формула и площадь, расчет



равнобедренный треугольник Это трехсторонний многоугольник, где два из них имеют одинаковое измерение, а третья сторона - другое измерение. Эта последняя сторона называется базой. Из-за этой характеристики ему было дано это имя, которое в переводе с греческого означает «равные ноги».

Треугольники - это многоугольники, которые считаются простейшими в геометрии, потому что они образованы тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. Это те, которые имеют наименьшее количество сторон и углов относительно других многоугольников, однако его использование очень обширно.

индекс

  • 1 Характеристика равнобедренных треугольников
    • 1.1 Компоненты
  • 2 свойства
    • 2.1 Внутренние углы
    • 2.2 Сумма сторон
    • 2.3 Конгруэнтные стороны
    • 2.4 Конгруэнтные углы
    • 2.5 Высота, медиана, биссектриса и биссектриса совпадают
    • 2.6 Относительные высоты
    • 2.7 Ортоцентр, барицентр, стимулятор и окрицентр совпадают
  • 3 Как рассчитать периметр?
  • 4 Как рассчитать высоту?
  • 5 Как рассчитать площадь?
  • 6 Как рассчитать основание треугольника?
  • 7 упражнений
    • 7.1 Первое упражнение
    • 7.2 Второе упражнение
    • 7.3 Третье упражнение
  • 8 ссылок

Характеристика равнобедренных треугольников

Равнобедренный треугольник был классифицирован с использованием меры его сторон в качестве параметра, поскольку две его стороны являются конгруэнтными (они имеют одинаковую длину).

По амплитуде внутренних углов равнобедренные треугольники классифицируются как:

  • Прямоугольный равнобедренный треугольник: две его стороны равны. Один из его углов прямой (90или) и остальные одинаковы (45или каждый)
  • Равнобедренный тупой угол треугольника: две его стороны равны. Один из его углов тупой (> 90или).
  • Равнобедренный острый угловой треугольник: две его стороны равны. Все его углы острые (< 90или), где два имеют одинаковую меру.

компоненты

  • Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.
  • Биссектриса: это луч, который делит угол каждой вершины на два угла одинакового размера. Вот почему он известен как ось симметрии, и этот тип треугольников имеет только один.
  • Посредник: это сегмент, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатека, и они совпадают в точке, которая называется circuncentro..
  • Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

свойства

Равнобедренные треугольники определены или идентифицированы, потому что у них есть несколько свойств, которые представляют их, возникшие из теорем, предложенных великими математиками:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180или.

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Конгруэнтные стороны

Равнобедренные треугольники имеют две стороны с одинаковой мерой или длиной; то есть они совпадают, и третья сторона отличается от этих.

Конгруэнтные углы

Равнобедренные треугольники также известны как треугольники изо-углов, потому что они имеют два угла, которые имеют одинаковую меру (конгруэнтность). Они расположены в основании треугольника, напротив сторон, которые имеют одинаковую длину.

Из-за этого теорема, которая устанавливает, что:

«Если треугольник имеет две конгруэнтные стороны, углы, противоположные этим сторонам, также будут конгруэнтными». Поэтому, если треугольник равнобедренный, углы его оснований конгруэнтны.

пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC. Прослеживая его биссектрису от вершины угла B до основания, треугольник делится на два треугольника, равных BDA и BDC:

Таким образом, угол вершины B также был разделен на два равных угла. Биссектриса теперь является стороной (BD), общей для этих двух новых треугольников, в то время как стороны AB и BC являются конгруэнтными сторонами. Таким образом, у вас есть случай конгруэнтной стороны, угла, стороны (LAL).

Это показывает, что углы вершин A и C имеют одинаковую меру, также как можно показать, что поскольку треугольники BDA и BDC являются конгруэнтными, стороны AD и DC также конгруэнтны..

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса совпадают

Линия, проведенная от вершины, противоположной основанию, до середины основания равнобедренного треугольника, представляет собой одновременно высоту, медиану и биссектрису, а также биссектрису относительно противоположного угла основания.

Все эти сегменты совпадают в одном, представляющем их.

пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC со средней точкой M, который делит основание на два сегмента BM и CM.

Когда вы рисуете сегмент от точки M до противоположной вершины, по определению вы получаете медиану AM, которая относится к вершине A и стороне BC.

Поскольку сегмент AM делит треугольник ABC на два равных треугольника AMB и AMC, это означает, что будет выбран случай совпадения стороны, угла, стороны и, следовательно, AM также будет биссектрисом BÂC..

Вот почему биссектриса всегда будет равна медиане и наоборот.

Сегмент AM образует углы, которые имеют одинаковую меру для треугольников AMB и AMC; то есть они являются дополнительными таким способом, которым мера каждого из них будет:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180или

2 * Med. (AMC) = 180или

Med. (AMC) = 180или ÷ 2

Med. (AMC) = 90или

Может быть известно, что углы, образованные сегментом AM относительно основания треугольника, являются прямыми, что указывает на то, что этот сегмент полностью перпендикулярен основанию.

Следовательно, он представляет высоту и биссектрису, зная, что М - это середина.

Поэтому прямая AM:

  • Представляет высоту БК.
  • Это средний.
  • Содержится в медиатрике Британской Колумбии.
  • Это биссектриса угла вершины

Относительные высоты

Высоты, которые относятся к равным сторонам, имеют ту же меру также.

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, их две соответствующие высоты также будут равны.

Ортоцентр, барицентр, стимулятор и круговой центр совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса по отношению к основанию, представлены в одно и то же время одним и тем же сегментом, ортоцентр, центроцентрический стимулятор и круговой центр будут коллинеарными точками, то есть они будут находиться на одной линии:

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника рассчитывается по сумме сторон.

Так как в этом случае равнобедренный треугольник имеет две стороны с одинаковой мерой, его периметр рассчитывается по следующей формуле:

P = 2*(сторона а) + (сторона б).

Как рассчитать высоту?

Высота - это линия, перпендикулярная основанию, делит треугольник на две равные части, простираясь до противоположной вершины..

Высота представляет противоположную ногу (а), половину основания (b / 2) к соседней ноге, а сторона «а» представляет гипотенузу..

Используя теорему Пифагора, вы можете определить значение высоты:

в2 + б2 = с2

где:

в2 = высота (ч).

б2 = б / 2.

с2 = сторона а.

Подставляя эти значения в теорему Пифагора, и очищая высоту, мы имеем:

час2 + (б / 2)2 = в2

час2 + б2 / 4 = в2

час2 = в2 - б2 / 4

h = √ (в2 - б2 / 4).

Если угол, образованный конгруэнтными сторонами, известен, высоту можно рассчитать по следующей формуле:

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле, умножая основание на высоту и деля на два:

Есть случаи, когда известны только измерения двух сторон треугольника и угла, образованного между ними. В этом случае для определения площади необходимо применять тригонометрические соотношения:

Как рассчитать основание треугольника?

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, для определения значения его основания необходимо знать хотя бы меру высоты или один из его углов..

Зная высоту, теорема Пифагора используется:

в2 + б2 = с2

где:

в2 = высота (ч).

с2 = сторона а.

б2 = b / 2, неизвестно.

Мы очистили б2 формулы и мы должны:

б2 = а2 - с2

б = √ а2 - с2

Поскольку это значение соответствует половине основания, его необходимо умножить на два, чтобы получить полную меру основания равнобедренного треугольника:

б = 2 * (√ а2 - с2)

В случае, когда известны только значения его равных сторон и угла между ними, применяется тригонометрия, проводящая линию от вершины до основания, которая делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника..

Таким образом, половина базы рассчитывается с помощью:

Также возможно, что известно только значение высоты и угла вершины, противоположной основанию. В этом случае по тригонометрии можно определить основание:

обучение

Первое упражнение

Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, зная, что две его стороны имеют размер 10 см, а третья сторона имеет размер 12 см..

решение

Чтобы найти площадь треугольника, необходимо рассчитать высоту по формуле площади, связанной с теоремой Пифагора, поскольку значение угла, образованного между равными сторонами, неизвестно..

У нас есть следующие данные равнобедренного треугольника:

  • Равные стороны (а) = 10 см.
  • Основание (б) = 12 см.

Значения в формуле заменяются:

Второе упражнение

Длина двух равных сторон равнобедренного треугольника составляет 42 см, объединение этих сторон образует угол 130или. Определите значение третьей стороны, площадь этого треугольника и периметр.

решение

В этом случае измерения сторон и угла между ними известны.

Чтобы узнать значение отсутствующей стороны, то есть основания этого треугольника, перпендикулярно к нему рисуется линия, разделяющая угол на две равные части, по одной на каждый сформированный прямоугольный треугольник..

  • Равные стороны (а) = 42 см.
  • Угол (Ɵ) = 130или

Теперь по тригонометрии вычисляется значение половины основания, что соответствует половине гипотенузы:

Чтобы вычислить площадь, необходимо знать высоту этого треугольника, которую можно вычислить с помощью тригонометрии или теоремы Пифагора, теперь, когда значение основания уже определено.

По тригонометрии это будет:

Периметр рассчитывается:

P = 2*(сторона а) + (сторона б).

P = 2* (42 см) + (76 см)

P = 84 см + 76 см

P = 160 см.

Третье упражнение

Рассчитайте внутренние углы равнобедренного треугольника, зная, что угол основания равен 55или

решение

Чтобы найти два недостающих угла (Ê и Ô), необходимо запомнить два свойства треугольников:

  • Сумма внутренних углов каждого треугольника всегда будет = 180или:

В + Ê + Ô = 180 или

  • В равнобедренном треугольнике углы основания всегда совпадают, то есть имеют одинаковую меру, поэтому:

 = Ô

55 = 55или

Чтобы определить значение угла Ê, подставьте значения других углов в первое правило и очистите Ê:

55или + 55или + 180 = 180 или

110 или + 180 = 180 или

180 = 180 или - 110 или

70 = 70 или.

ссылки

  1. Альварес Э. (2003). Элементы геометрии: с многочисленными упражнениями и геометрией компаса. Университет Медельина.
  2. Альваро Рендон, A.R. (2004). Технический чертеж: тетрадь деятельности.
  3. Ангел А.Р. (2007). Элементарная алгебра Пирсон Образование.
  4. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
  5. Балдор А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
  6. Хосе Хименес, Л.Дж. (2006). Математика 2.
  7. Тума, J. ​​(1998). Инженерно-математический справочник. Wolfram MathWorld.