Триномиал формы x ^ 2 + bx + c (с примерами)

Прежде чем научиться решать трехчлен вида x ^ 2 + bx + c, и даже прежде, чем познать понятие тринома, важно знать два основных понятия; а именно, понятия мономиального и полиномиального. Моном - это выражение типа a * x^N, где a - рациональное число, n - натуральное число, а x - переменная.

Полином - это линейная комбинация мономов вида_N* х^N+в_н-1* х^н-1+... +₂* х²+в₁* х + а₀, где каждый_Я, при i = 0, ..., n - рациональное число, n - натуральное число и a_n - не ноль. В этом случае говорят, что степень многочлена равна n.

Многочлен, образованный суммой только двух членов (двух одночленов) разных степеней, известен как бином.

индекс

• 1 триномы
  • 1.1 Идеальный квадратный трином
• 2 Характеристики класса 2 тринома
  • 2.1 Идеальный квадрат
  • 2.2 Формула растворителя
  • 2.3 Геометрическая интерпретация
  • 2.4 Факторинг триномов
• 3 примера
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Ссылки

трехчленов

Многочлен, образованный суммой только трех слагаемых (трех одночленов) разных степеней, называется трином. Ниже приведены примеры триномов:

• х³+х²+5x
• 2x⁴-х³+5
• х²+6x + 3

Есть несколько типов триномов. Из этих моментов выделяется идеальный квадратный трином.

Идеальный квадратный трином

Идеальный квадратный трином является результатом возведения биномиального квадрата. Например:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+у)²= 4x⁶+4x³г + у²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²и⁴+4y⁸
• 1 / 16x²и⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-г)²

Характеристики трехчленов 2 класса

Идеальный квадрат

В общем, трином от вида топора²+bx + c - идеальный квадрат, если его дискриминант равен нулю; то есть если б²-4ac = 0, так как в этом случае он будет иметь только один корень и может быть выражен в виде a (x-d)²= (√a (x-d))², где d - уже упомянутый корень.

Корень многочлена - это число, в котором многочлен становится равным нулю; другими словами, число, которое, заменяя его на x в выражении многочлена, приводит к нулю.

Формула растворителя

Общая формула для вычисления корней многочлена второй степени формы ах²+bx + c - формула резольвера, которая утверждает, что эти корни задаются как (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, где b²-4ac известен как дискриминант и обычно обозначается как Δ. Из этой формулы следует, что топор²+BX + C имеет:

- Два разных реальных корня, если Δ> 0.

- Единственный действительный корень, если Δ = 0.

- Не имеет реального корня, если Δ<0.

В дальнейшем мы будем рассматривать только триномы вида x²+bx + c, где ясно, что c должно быть ненулевым числом (в противном случае это будет бином). Этот тип триномов имеет определенные преимущества при факторинге и работе с ними.

Геометрическая интерпретация

Геометрически трехчлен х²+bx + c - парабола, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (-b / 2, -b²/ 4 + в) декартовой плоскости, потому что х²+bx + c = (x + b / 2)²-б²/ 4 + с.

Эта парабола разрезает ось Y в точке (0, c) и ось X в точках (d₁,0) и (d)₂,0); тогда д₁ и д₂ они корни тринома. Может случиться так, что у тринома будет один корень d, и в этом случае единственным разрезом с осью X будет (d, 0).

Может также случиться, что у тринома нет реальных корней, и в этом случае он не будет разрезать ось X в любой точке..

Например, х²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (х + 3)² является параболой с вершиной в (-3,0), которая разрезает ось Y в (0,9) и ось X в (-3,0).

Триномиальная факторизация

Очень полезным инструментом при работе с полиномами является факторинг, который должен выражать полином как произведение факторов. В общем случае задан трином от вида х²+bx + c, если это имеет два разных корня d₁ и д₂, это может быть учтено как (x-d)₁) (x-d)₂).

Если у вас есть только один корень d, вы можете разложить его как (x-d) (x-d) = (x-d)², и если оно не имеет каких-либо реальных корней, оно остается тем же самым; в этом случае он не поддерживает факторизацию как продукт факторов, отличных от самого себя.

Это означает, что, зная корни трехчлена уже установленной формы, его факторизация может быть легко выражена, и, как уже упоминалось, эти корни всегда можно определить с помощью резольвенты.

Тем не менее, существует значительное количество триномий этого типа, которые могут быть учтены без необходимости заранее знать их корни, что упрощает работу.

Корни могут быть определены непосредственно из факторизации без необходимости использовать формулу резольвера; это полиномы вида х² +(a + b) x + ab. В этом случае у вас есть:

х²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Отсюда легко заметить, что корни -a и -b.

Другими словами, учитывая трином X²+bx + c, если есть два числа u и v, для которых c = uv и b = u + v, то x²+bx + c = (x + u) (x + v).

То есть, учитывая трином X²+bx + c, сначала проверьте, есть ли два числа, такие как умноженное на независимый член (c) и добавленное (или вычтенное, в зависимости от случая), дающее термин, который сопровождает x (b).

Не со всеми триномами таким способом этот метод может быть применен; где вы не можете, вы идете в резольвенту и применяете вышеупомянутое.

примеров

Пример 1

Разложить следующий трином²+3х + 2 поступаем следующим образом:

Вы должны найти два числа, чтобы при их сложении получилось 3, а при умножении их - 2.

После проведения проверки можно сделать вывод, что искомые числа: 2 и 1. Следовательно, х²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Пример 2

Разложить трехчлен на x²-5x + 6 мы ищем два числа, сумма которых равна -5, а ее произведение равно 6. Числа, которые удовлетворяют этим двум условиям, равны -3 и -2. Следовательно, факторизация данного тринома равна x²-5х + 6 = (х-3) (х-2).

ссылки

1. Источники, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в расчет. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марило Гаро.
3. Haeussler, E.F. & Paul, R.S. (2003). Математика для управления и экономики. Пирсон Образование.
4. Хименес, Ж., Рофригес, М. & Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. порог.
5. Preciado, C. T. (2005). Курс математики 3о. Редакция Прогресо.
6. Рок, Н. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
7. Салливан Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Пирсон Образование.