Масштаб треугольника, особенности, формула и площади, расчет



разносторонний треугольник Это трехсторонний многоугольник, где у каждого разные размеры или длины; по этой причине ему дается название лестница, что на латыни означает скалолазание.

Треугольники - это многоугольники, считающиеся простейшими в геометрии, потому что они образованы тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. В случае разностороннего треугольника, поскольку он имеет все разные стороны, это означает, что его три угла также будут разными..

индекс

  • 1 Характеристика разносторонних треугольников
    • 1.1 Компоненты
  • 2 свойства
    • 2.1 Внутренние углы
    • 2.2 Сумма сторон
    • 2.3 Несовместимые стороны
    • 2.4 Неконгруэнтные углы
    • 2.5 Высота, медиана, биссектриса и биссектриса не совпадают
    • 2.6 Ортоцентр, барицентр, стимулятор и околицентр не совпадают
    • 2.7 Относительные высоты
  • 3 Как рассчитать периметр?
  • 4 Как рассчитать площадь?
  • 5 Как рассчитать высоту?
  • 6 Как рассчитать стороны?
  • 7 упражнений
    • 7.1 Первое упражнение
    • 7.2 Второе упражнение
    • 7.3 Третье упражнение
  • 8 ссылок

Характеристики разносторонних треугольников

Масштабные треугольники являются простыми многоугольниками, потому что ни одна из их сторон или углов не имеет одинаковую меру, в отличие от равнобедренных и равносторонних треугольников..

Поскольку все его стороны и углы имеют разные измерения, эти треугольники считаются неправильными выпуклыми многоугольниками.

По амплитуде внутренних углов разносторонние треугольники классифицируются как:

  • Шкала прямоугольник треугольник: все его стороны разные. Один из его углов прямой (90или) а остальные резкие и с разными мерами.
  • Шкала тупого угла треугольника: все его стороны разные, и один из его углов тупой (> 90или).
  • Шкала острого угла треугольника: все его стороны разные. Все его углы острые (< 90или), с разными мерами.

Еще одной характеристикой разносторонних треугольников является то, что из-за несовместимости их сторон и углов они не имеют оси симметрии.

компоненты

Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.

Биссектриса: это луч, который делит каждый угол на два угла одинакового размера. Биссектрисы треугольника совпадают в точке, называемой incentro.

Посредник: это сегмент, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатрицы, совпадающие в точке, называемой окружностью.

Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

свойства

Масштабные треугольники определены или идентифицированы, потому что они имеют несколько свойств, которые их представляют, возникших из теорем, предложенных великими математиками. Это:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180или.

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Непоследовательные стороны

Все стороны разносторонних треугольников имеют разные размеры или длины; то есть они неуместны.

Несогласованные углы

Поскольку все стороны разностороннего треугольника различны, их углы также будут разными. Однако сумма внутренних углов всегда будет равна 180º, и в некоторых случаях один из ее углов может быть тупым или прямым, в то время как в других все его углы будут острыми.

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса не совпадают

Как и любой другой треугольник, в составной части есть несколько отрезков прямых линий, составляющих его, например: высота, медиана, биссектриса и биссектриса..

Из-за особенностей его сторон, в этом типе треугольника ни одна из этих линий не будет совпадать в одной.

Ортоцентр, барицентр, стимулятор и центр окружности не совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса представлены различными отрезками прямых линий, в разностороннем треугольнике точки встречи - ортоцентр, центроцентр, стимулятор и окрицентр - будут находиться в разных точках (они не совпадают).

В зависимости от того, является ли треугольник острым, прямоугольным или разносторонним, ортоцентр имеет разные местоположения:

а. Если треугольник острый, ортоцентр будет внутри треугольника.

б. Если треугольник является прямоугольником, ортоцентр будет совпадать с вершиной прямой стороны.

с. Если треугольник тупой, ортоцентр будет находиться снаружи треугольника..

Относительные высоты

Высоты относительно сторон.

В случае разностороннего треугольника эти высоты будут иметь разные измерения. Каждый треугольник имеет три относительных высоты и для их расчета используется формула Герона.

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника рассчитывается по сумме сторон.

Так как в этом случае разносторонний треугольник имеет все стороны с различной мерой, его периметр будет:

P = сторона a + сторона b + сторона c.

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле, умножая основание на высоту и деля на два:

Площадь = (база * ч) ÷ 2

В некоторых случаях высота разностороннего треугольника неизвестна, но есть математическая формула, предложенная математиком Хероном, для расчета площади, зная измерение трех сторон треугольника..

где:

  • a, b и c, представляют стороны треугольника.
  • sp, соответствует полупериметру треугольника, то есть половине периметра:

sp = (a + b + c) ÷ 2

В случае, если у вас есть измерение только двух сторон треугольника и угла, который сформирован между ними, площадь может быть рассчитана путем применения тригонометрических соотношений. Итак, вы должны:

Площадь = (сторона * ч) ÷ 2

Где высота (h) - произведение одной стороны на синус противоположного угла. Например, для каждой стороны площадь будет:

  • Площадь = (б * с * сен а) ÷ 2
  • Площадь = (а * с * сен Б) ÷ 2.
  • Площадь = (а * б * сен C) ÷ 2

Как рассчитать высоту?

Поскольку все стороны разностороннего треугольника различны, вычислить высоту с помощью теоремы Пифагора невозможно.

Из формулы Герона, которая основана на измерениях трех сторон треугольника, можно вычислить площадь.

Высота может быть очищена от общей формулы площади:

Сторона заменяется измерением стороны a, b или c.

Другой способ вычислить высоту, когда известно значение одного из углов, состоит в применении тригонометрических соотношений, где высота будет представлять ногу треугольника..

Например, когда известен противоположный угол к высоте, он будет определяться синусом:

Как рассчитать стороны?

Если у вас есть мера двух сторон и угол, противоположный этим, можно определить третью сторону, применив теорему косинусов.

Например, в треугольнике AB показана высота относительно сегмента AC. Таким образом, треугольник делится на два прямоугольных треугольника.

Для вычисления c-стороны (отрезок AB) применяется теорема Пифагора для каждого треугольника:

  • Для синего треугольника вы должны:

с2 = ч2 + м2

Поскольку m = b - n, оно заменяется:

с2 = ч2 + б2 (б - н)2

с2 = ч2 + б2 - 2 млрд + н2.

  • Для розового треугольника вы должны:

час2 = а2 - N2

Он заменяется в предыдущем уравнении:

с2 = а2 - N2 + б2 - 2 млрд + н2

с2 = а2 + б2 - 2BN.

Зная, что п = а * cos C, заменяется в предыдущем уравнении, и получается значение стороны c:

с2 = а2 + б2 - 2b* в * потому что C.

По закону косинусов стороны могут быть рассчитаны как:

  • в2 = б2 + с2 - 2b* с * потому что.
  • б2 = а2 + с2 - 2-й* с * потому что B.
  • с2 = а2 + б2 - 2b* в * потому что C.

Есть случаи, когда размеры сторон треугольника неизвестны, но их высота и углы, которые образуются в вершинах. Для определения площади в этих случаях необходимо применять тригонометрические соотношения.

Зная угол одной из его вершин, ноги идентифицируются и используется соответствующее тригонометрическое соотношение:

Например, катет AB будет противоположен углу C, но прилегает к углу A. В зависимости от стороны или катета, соответствующих высоте, другая сторона очищается, чтобы получить значение этого.

обучение

Первое упражнение

Рассчитайте площадь и высоту разностороннего треугольника ABC, зная, что его стороны:

а = 8 см.

б = 12 см.

с = 16 см.

решение

В качестве данных приведены измерения трех сторон разностороннего треугольника.

Поскольку у вас нет значения высоты, вы можете определить площадь, применяя формулу Герона..

Сначала рассчитывается полупериметр:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 см + 12 см + 16 см) ÷ 2

sp = 36 см ÷ 2

sp = 18 см.

Теперь значения в формуле Герона заменены:

Зная площадь, можно рассчитать относительную высоту на стороне b. Из общей формулы, очистив ее, вы получите:

Площадь = (сторона * ч) ÷ 2

46, 47 см2 = (12 см * ч) ÷ 2

ч = (2 * 46,47 см2) ÷ 12 см

h = 92,94 см2 ÷ 12 см

h = 7,75 см.

Второе упражнение

Учитывая разносторонний треугольник ABC, меры которого:

  • Сегмент AB = 25 м.
  • Сегмент БК = 15 м.

В вершине B образуется угол 50 °. Рассчитайте относительную высоту в сторону с, периметр и площадь этого треугольника.

решение

В этом случае у вас есть меры двух сторон. Для определения высоты необходимо рассчитать измерение третьей стороны.

Поскольку задан угол, противоположный заданным сторонам, можно применить закон косинусов для определения измерения стороны переменного тока (b):

б2 = а2 + с2 - 2-й*с * потому что B

где:

а = бк = 15 м.

с = АВ = 25 м.

б = переменный ток.

B = 50или.

Данные заменяются:

б2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

б2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

б2 = (225) + (625) - (482,025)

б2 = 367 985

b = √367,985

б = 19,18 м.

Поскольку у вас уже есть значение трех сторон, рассчитайте периметр этого треугольника:

P = сторона a + сторона b + сторона c

Р = 15 м + 25 м + 19, 18 м

P = 59,18 м

Теперь можно определить площадь, применяя формулу Герона, но сначала необходимо рассчитать полупериметр:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 м ÷ 2

sp = 29,59 м.

Измерения сторон и полупериметра заменяются формулой Герона:

Наконец, зная площадь, можно рассчитать относительную высоту на стороне c. Из общей формулы, очистив ее, вы должны:

Площадь = (сторона * ч) ÷ 2

143,63 м2 = (25 м * ч) ÷ 2

ч = (2 * 143,63 м2) ÷ 25 м

h = 287,3 м2 ÷ 25 м

h = 11,5 м.

Третье упражнение

В разностороннем треугольнике ABC сторона b имеет размер 40 см, сторона c имеет размер 22 см, а в вершине A образуется угол 90или. Рассчитайте площадь этого треугольника.

решение

В этом случае даны измерения двух сторон разностороннего треугольника ABC, а также угла, образованного в вершине A.

Для определения площади нет необходимости вычислять меру стороны а, поскольку через тригонометрические соотношения угол используется для ее нахождения.

Так как угол, противоположный высоте, известен, это будет определяться произведением с одной стороны и синусом угла.

Подставляя в формулу площади, вы должны:

  • Площадь = (сторона * ч) ÷ 2
  • ч = с * сен А

Площадь = (б * с * сен а) ÷ 2

Площадь = (40 см * 22 см * сен 90) ÷ 2

Площадь = (40 см * 22 см * 1) ÷ 2

Площадь = 880 см2 ÷ 2

Площадь = 440 см2.

ссылки

  1. Альваро Рендон, A.R. (2004). Технический чертеж: тетрадь деятельности.
  2. Анхель Руис, Х. Б. (2006). Геометрий. CR Technology, .
  3. Ангел А.Р. (2007). Элементарная алгебра Пирсон Образование,.
  4. Балдор А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
  5. Barbosa, J.L. (2006). Плоская евклидова геометрия. Рио-де-Жанейро,.
  6. Коксетер Х. (1971). Основы геометрии Мексика: Лимуса-Вили.
  7. Даниэль С. Александр, Г. М. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжа. Cengage Learning.
  8. Harpe, P. d. (2000). Темы в геометрической теории групп. Университет Чикагской Прессы.