Особенности, свойства, формулы и площадь равностороннего треугольника

равносторонний треугольник это многоугольник с тремя сторонами, где все равны; то есть они имеют одинаковую меру. Для этой характеристики ему было дано название равностороннего (равных сторон).

Треугольники - это многоугольники, считающиеся простейшими в геометрии, потому что они образованы тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. В случае равностороннего треугольника, имея равные стороны, подразумевается, что его три угла также будут.

индекс

• 1 Характеристики равносторонних треугольников
  • 1.1 Равные стороны
  • 1.2 Компоненты
• 2 свойства
  • 2.1 Внутренние углы
  • 2.2 Внешние углы
  • 2.3 Сумма сторон
  • 2.4 Конгруэнтные стороны
  • 2.5 Конгруэнтные углы
  • 2.6 Биссектриса, медиана и медиатрица совпадают
  • 2.7 Биссектриса и высота совпадают
  • 2.8 Ортоцентр, барицентр, стимулятор и окрицентр совпадают
• 3 Как рассчитать периметр?
• 4 Как рассчитать высоту?
• 5 Как рассчитать стороны?
• 6 Как рассчитать площадь?
• 7 упражнений
  • 7.1 Первое упражнение
  • 7.2 Второе упражнение
  • 7.3 Третье упражнение
• 8 ссылок

Характеристики равносторонних треугольников

Равные стороны

Равносторонние треугольники представляют собой плоские и замкнутые фигуры, состоящие из трех отрезков прямых линий. Треугольники классифицируются по их характеристикам по отношению к их сторонам и углам; равносторонний был классифицирован с использованием меры его сторон в качестве параметра, так как они абсолютно одинаковы, то есть они конгруэнтны.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, потому что две его стороны являются конгруэнтными. Вот почему все равносторонние треугольники также равнобедренные, но не все равнобедренные треугольники будут равносторонними.

Таким образом, равносторонние треугольники имеют одинаковые свойства равнобедренного треугольника..

Равносторонние треугольники также могут быть классифицированы по амплитуде их внутренних углов как равносторонний угловой треугольник, который имеет три стороны и три внутренних угла с одинаковой мерой. Углы будут резкими, то есть они будут меньше 90^или.

компоненты

Треугольники в общем имеют несколько линий и точек, которые составляют его. Они используются для расчета площади, сторон, углов, медианы, биссектрисы, перпендикуляра и высоты.

• Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.
• Биссектриса: это луч, который делит угол вершин на два угла одинакового размера, поэтому он известен как ось симметрии. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

В равностороннем треугольнике биссектриса оттянута от вершины угла к его противоположной стороне, разрезая это в его средней точке. Они совпадают в точке, называемой Incentro.

• Посредник: отрезок, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатека, и они совпадают в точке, которая называется circuncentro..
• Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

свойства

Основным свойством равносторонних треугольников является то, что они всегда будут равнобедренными треугольниками, поскольку равнобедренные образованы двумя конгруэнтными сторонами, а равносторонние - тремя.

Таким образом, равносторонние треугольники унаследовали все свойства равнобедренного треугольника:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180^или, и так как все его углы совпадают, то каждый из них будет измерять 60^или.

Внешние углы

Сумма внешних углов всегда будет равна 360^или, поэтому каждый внешний угол будет измерять 120^или. Это связано с тем, что внутренние и внешние углы являются дополнительными, то есть их сложение всегда будет равно 180^или.

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, то есть a + b> c, где a, b и c - измерения каждой стороны.

Конгруэнтные стороны

Равносторонние треугольники имеют свои три стороны с одинаковой мерой или длиной; то есть они совпадают. Следовательно, в предыдущем пункте мы имеем a = b = c.

Конгруэнтные углы

Равносторонние треугольники также известны как равновеликие треугольники, потому что их три внутренних угла совпадают друг с другом. Это потому, что все его стороны также имеют одинаковую меру.

Биссектриса, медиана и медиатриса совпадают

Биссектриса делит сторону треугольника на две части. В равносторонних треугольниках эта сторона будет разделена на две абсолютно равные части, то есть треугольник будет разделен на два равных прямоугольных треугольника..

Таким образом, биссектриса, проведенная под любым углом равностороннего треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой противоположной стороны этого угла.

пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC со средней точкой D, которая делит одну из его сторон на два сегмента AD и BD.

Когда вы рисуете линию от точки D к противоположной вершине, по определению вы получаете медиану CD, которая относится к вершине C и стороне AB.

Поскольку сегмент CD делит треугольник ABC на два треугольника, равных CDB и CDA, это означает, что у нас будет случай конгруэнции: сторона, угол, сторона и, следовательно, CD также будет биссектрисом BCD.

При рисовании сегмента CD разделите угол вершины на два равных угла 30^или, угол вершины А продолжает измеряться 60^или и прямой CD образует угол 90^или по отношению к средней точке D.

Сегмент CD образует углы, которые имеют одинаковые измерения для треугольников ADC и BDC, то есть они являются дополнительными таким образом, что измерение каждого из них будет:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^или

2 _* Med. (ADC) = 180^или

Med. (ADC) = 180^или ÷ 2

Med. (ADC) = 90^или.

Итак, у вас есть, что сегмент CD является также биссектрисом стороны AB.

Биссектриса и высота совпадают

Когда вы рисуете биссектрису от вершины угла до середины противоположной стороны, она делит равносторонний треугольник на два конгруэнтных треугольника..

Таким образом, что угол 90 образуется^или (Прямой). Это указывает на то, что этот отрезок линии полностью перпендикулярен этой стороне, и по определению эта линия будет высотой.

Таким образом, биссектриса любого угла равностороннего треугольника совпадает с относительной высотой на противоположной стороне этого угла.

Ортоцентр, барицентр, стимулятор и круговой центр совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса представлены одновременно одним и тем же сегментом, в равностороннем треугольнике точки встречи этих сегментов - ортоцентр, барицентр, стимулятор и окрицентр - будут находиться в одной точке:

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника рассчитывается по сумме сторон. Поскольку в этом случае равносторонний треугольник имеет все стороны с одинаковой мерой, его периметр рассчитывается по следующей формуле:

P = 3 _* сторона.

Как рассчитать высоту?

Поскольку высота - это линия, перпендикулярная основанию, она делит ее на две равные части, продолжаясь до противоположной вершины. Таким образом образуются два равных прямоугольных треугольника.

Высота (h) представляет противоположную сторону (a), половину стороны AC относительно соседней стороны (b), а сторона BC представляет гипотенузу (c).

Используя теорему Пифагора, вы можете определить значение высоты:

в² + б²= с²

где:

в² = высота (ч).

б² = сторона б / 2.

с² = сторона а.

Подставляя эти значения в теорему Пифагора, и очищая высоту, мы имеем:

час² + ( л / 2)² = L²

час² +  L²/ 4 = L²

час² = L²  -  L²/ 4

час² = (4_*L² -  L²) / 4

час² =  3_*L²/4

√час² = √ (3_*L²/4)

Если угол, образованный конгруэнтными сторонами, известен, высоту (представленную ногой) можно рассчитать, применяя тригонометрические соотношения.

Ноги называются противоположными или смежными в зависимости от угла, взятого за основу.

Например, на предыдущем рисунке катет h будет противоположен углу C, но прилегает к углу B:

Таким образом, высота может быть рассчитана с помощью:

Как рассчитать стороны?

Есть случаи, когда размеры сторон треугольника неизвестны, но их высота и углы, которые образуются в вершинах.

Для определения площади в этих случаях необходимо применять тригонометрические соотношения.

Зная угол одной из его вершин, ноги идентифицируются и используется соответствующее тригонометрическое соотношение:

Таким образом, ножка AB будет противоположной для угла C, но прилегающей к углу A. В зависимости от стороны или ножки, соответствующей высоте, другая сторона очищается для получения значения этого, зная, что в равностороннем треугольнике три стороны всегда будут иметь одинаковый размер.

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле, умножая основание на высоту и деля на два:

Площадь = (б _* ч) ÷ 2

Зная, что высота дается по формуле:

обучение

Первое упражнение

Стороны равностороннего треугольника ABC размером 20 см каждая. Рассчитать высоту и площадь этого многоугольника.

решение

Чтобы определить площадь этого равностороннего треугольника, необходимо рассчитать высоту, зная, что при его рисовании он делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника..

Таким образом, теорема Пифагора может быть использована для ее нахождения:

в² + б²= с²

где:

а = 20/2 = 10 см.

б = высота.

с = 20 см.

Данные в теореме заменяются:

10² + б² = 20²

100 см + б² = 400 см

б² = (400 - 100) см

б² = 300 см

б = √300 см

b = 17,32 см.

То есть высота треугольника равна 17,32см. Теперь можно рассчитать площадь данного треугольника, подставив в формулу:

Площадь = (б _* ч) ÷ 2

Площадь = (20 см _* 17,32 см) ÷ 2

Площадь = 346,40 см² ÷ 2

Площадь = 173,20 см².

Другим более простым способом решения упражнения является подстановка данных в прямую формулу области, где значение высоты также неявно:

Второе упражнение

На земле, которая имеет форму равностороннего треугольника, будут посажены цветы. Если периметр этой земли равен 450 м, рассчитайте количество квадратных метров, занимаемых цветами.

решение

Зная, что периметр треугольника соответствует сумме трех его сторон, и поскольку местность имеет форму равностороннего треугольника, три стороны этого треугольника будут иметь одинаковую меру или длину:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* L

3 _* L = 450 м.

л = 450 м ÷ 3

л = 150 м.

Теперь нужно только вычислить высоту этого треугольника..

Высота делит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, где одна из ножек представляет высоту, а другая половина основания. По теореме Пифагора высота может быть определена:

в² + б²= с²

где:

в = 150 м ÷ 2 = 75 м.

с = 150 м.

б = высота

Данные в теореме заменяются:

(75 м)²+ б² = (150 м)²

5625 м + б² = 22 500 м

б² = 22 500 м - 5 625 м

б² = 16 875 м

б = √16,875 м

б = 129,90 м.

Таким образом, область, которая будет занимать цветы, будет:

Площадь = b * ч ÷ 2

Площадь = (150 м _* 129,9 м) ÷ 2

Площадь = (19 485 м²) ÷ 2

Площадь = 9 742,5 м²

Третье упражнение

Равносторонний треугольник ABC разделен отрезком, который идет от его вершины C к средней точке D, расположенной на противоположной стороне (AB). Этот сегмент измеряет 62 метра. Рассчитать площадь и периметр этого равностороннего треугольника.

решение

Зная, что равносторонний треугольник разделен отрезком, соответствующим высоте, образуя два равных прямоугольных треугольника, это, в свою очередь, также делит угол вершины C на два угла с одинаковой мерой 30.^или каждый.

Высота образует угол 90^или по отношению к отрезку AB, а угол вершины A будет измерять 60^или.

Затем, используя в качестве ориентира угол 30^или, высота CD устанавливается как нога, прилегающая к углу, а BC - как гипотенуза.

Из этих данных можно определить значение одной из сторон треугольника, используя тригонометрические соотношения:

Поскольку в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую меру или длину, это означает, что каждая сторона равностороннего треугольника ABC равна 71,6 метра. Зная это, можно определить вашу область:

Площадь = b * ч ÷ 2

Площадь = (71,6 м _* 62 м) ÷ 2

Площадь = 4 438,6 м² ÷ 2

Площадь = 2219,3 м²

Периметр задается суммой трех его сторон:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* L

P = 3_*L

P = 3 _* 71,6 м

P = 214,8 м.

ссылки

1. Альваро Рендон, A.R. (2004). Технический чертеж: тетрадь деятельности.
2. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
3. Балдор А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
4. BARBOSA, J.L. (2006). Плоская евклидова геометрия. SBM. Рио-де-Жанейро, .
5. Коксфорд А. (1971). Геометрия A Трансформационный подход. США: Братья Лэйдлоу.
6. Евклид Р. П. (1886). Евклидовы элементы геометрии.
7. Эктор Трехо, J. S. (2006). Геометрия и тригонометрия.
8. Леон Фернандес, Г.С. (2007). Интегрированная геометрия Столичный Технологический Институт.
9. Салливан Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия Пирсон Образование.