Биноминальная теорема Демонстрация и примеры

биноминальная теорема это уравнение, которое говорит нам, как разработать выражение вида (a + b)^N для некоторого натурального числа n. Бином не больше, чем сумма двух элементов, например (a + b). Это также позволяет нам знать на срок, указанный^Кб^п-к какой коэффициент связан с этим.

Эту теорему обычно приписывают английскому изобретателю, физику и математику сэру Исааку Ньютону; однако было найдено несколько записей, указывающих, что на Ближнем Востоке его существование уже было известно, примерно в 1000 году.

индекс

• 1 комбинаторные числа
• 2 Демонстрация
• 3 примера
  • 3.1 Личность 1
  • 3.2 Личность 2
• 4 Еще одна демонстрация
  • 4.1 Демонстрация по индукции
• 5 курьезов
• 6 Ссылки

Комбинаторные числа

Биноминальная теорема математически говорит нам следующее:

В этом выражении a и b являются действительными числами, а n является натуральным числом.

Прежде чем проводить демонстрацию, давайте рассмотрим некоторые основные понятия, которые необходимы.

Комбинаторное число или комбинации n в k выражаются следующим образом:

Эта форма выражает значение того, сколько подмножеств с k элементами может быть выбрано из набора из n элементов. Его алгебраическое выражение имеет вид:

Давайте рассмотрим пример: предположим, у нас есть группа из семи шаров, два из которых красные, а остальные синие.

Мы хотим знать, сколько способов мы можем заказать их подряд. Одним из способов может быть размещение двух красных в первом и втором положениях, а остальные шары - в оставшихся..

Как и в предыдущем случае, мы могли бы дать красным шарам первую и последнюю позиции соответственно, а остальные занять синими шарами.

Теперь эффективный способ подсчитать, сколько способов мы можем упорядочить шары подряд, использует комбинаторные числа. Мы можем видеть каждую позицию как элемент следующего набора:

Далее необходимо только выбрать поднабор из двух элементов, в котором каждый из этих элементов представляет позицию, которую займут красные шары. Мы можем сделать этот выбор согласно отношениям, данным:

Таким образом, у нас есть 21 способ сортировки таких шаров.

Общая идея этого примера будет очень полезна при демонстрации биномиальной теоремы. Давайте посмотрим на конкретный случай: если n = 4, мы имеем (a + b)⁴, что не более чем:

Когда мы разрабатываем этот продукт, у нас есть сумма членов, полученных умножением элемента каждого из четырех факторов (a + b). Таким образом, у нас будут условия, которые будут иметь вид:

Если бы мы хотели получить термин формы⁴, просто умножьте следующим образом:

Обратите внимание, что есть только один способ получить этот элемент; но что произойдет, если мы теперь посмотрим на термин формы²б²? Поскольку «a» и «b» являются действительными числами и, следовательно, коммутативный закон действителен, у нас есть способ получить этот термин, чтобы умножить с членами, как указано стрелками.

Выполнение всех этих операций обычно несколько утомительно, но если мы увидим термин «а» как комбинацию, в которой мы хотим узнать, сколько способов мы можем выбрать два «а» из набора из четырех факторов, мы можем использовать идею предыдущего примера. Итак, имеем следующее:

Итак, мы знаем, что в окончательном развитии выражения (а + б)⁴ у нас будет ровно 6а²б². Используя ту же идею для других элементов, вы должны:

Затем мы добавляем выражения, полученные ранее, и мы должны:

Это формальная демонстрация для общего случая, когда «n» - любое натуральное число.

шоу

Обратите внимание, что термины, которые остаются при разработке (а + б)^N имеют форму для^Кб^п-к, где k = 0,1, ..., n. Используя идею предыдущего примера, мы можем выбрать «k» переменных «a» из «n» факторов:

Выбирая таким образом, мы автоматически выбираем n-k переменных «b». Из этого следует, что:

примеров

Учитывая (а + б)⁵, Что бы его развитие?

По биномиальной теореме мы должны:

Биноминальная теорема очень полезна, если у нас есть выражение, в котором мы хотим знать, каков коэффициент конкретного термина, не выполняя полную разработку. В качестве примера можно взять следующий вопрос: каков коэффициент х⁷и⁹ в развитии (х + у)¹⁶?

По биномиальной теореме имеем, что коэффициент равен:

Другой пример будет: каков коэффициент х⁵и⁸ в разработке (3х-7й)¹³?

Сначала мы переписываем выражение удобным способом; это:

Тогда, используя теорему бинома, мы получаем, что искомый коэффициент равен k = 5

Другой пример использования этой теоремы - демонстрация некоторых общих тождеств, таких как упомянутые ниже..

Личность 1

Если «n» - натуральное число, мы должны:

Для демонстрации мы используем биномиальную теорему, где и «a», и «b» принимают значение 1. Тогда имеем:

Таким образом, мы доказали первую идентичность.

Личность 2

Если «n» - натуральное число, то

По биномиальной теореме мы должны:

Еще одна демонстрация

Мы можем сделать другую демонстрацию для биномиальной теоремы, используя индуктивный метод и тождество Паскаля, которое говорит нам, что если «n» и «k» являются натуральными числами, которые встречают n ≥ k, то:

Демонстрация по индукции

Для начала посмотрим, что индуктивная база выполнена. Если n = 1, мы должны:

Действительно, мы видим, что оно выполнено. Теперь пусть n = j такое, что оно выполняется:

Мы хотим видеть, что для n = j + 1 выполняется, что:

Итак, мы должны:

По гипотезе мы знаем, что:

Затем, используя свойство дистрибутива:

Впоследствии, разрабатывая каждое из суммирований, мы имеем:

Теперь, если мы сгруппируемся удобным способом, мы должны:

Используя личность паскаля, мы должны:

Наконец, обратите внимание, что:

Таким образом, мы видим, что теорема бинома выполняется для всех «n», принадлежащих натуральному числу, и на этом тест заканчивается.

раритеты

Комбинаторное число (nk) также называют биномиальным коэффициентом, потому что это именно тот коэффициент, который появляется при развитии бинома (a + b)^N.

Исаак Ньютон дал обобщение этой теоремы для случая, когда показатель степени является действительным числом; эта теорема известна как биноминальная теорема Ньютона.

Уже в древности этот результат был известен для частного случая, когда n = 2. Этот случай упоминается в элементы евклидов.

ссылки

1. Джонсонбо Ричард. Дискретная математика PHH
2. Kenneth.H. Розен Дискретная математика и ее приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Сеймур Липшуц доктор философии и Марк Липсон. Дискретная математика. McGraw-Hill.
4. Ральф П. Гримальди. Дискретная и комбинаторная математика. Аддисон-Уэсли Ибероамерикана
5. Верде Стар Луис ... Дискретная математика и комбинатория. Антропос