Примеры теоремы Вариньона и решенные упражнения

Теорема Вариньона устанавливает, что если в любом четырехугольнике какие-либо точки непрерывно соединяются по сторонам, генерируется параллелограмм. Эта теорема была сформулирована Пьером Вариньоном и опубликована в 1731 году в книге Элементы математики".

Публикация книги произошла спустя годы после его смерти. Поскольку Варинон был тем, кто представил эту теорему, параллелограмм назван в его честь. Теорема основана на евклидовой геометрии и представляет геометрические соотношения четырехугольников.

индекс

• 1 Что такое теорема Вариньона??
• 2 примера
  • 2.1 Первый пример
  • 2.2 Второй пример
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Упражнение 1
  • 3.2 Упражнение 2
  • 3.3 Упражнение 3
• 4 Ссылки

Что такое теорема Вариньона??

Вариньон утверждал, что фигура, определяемая средними точками четырехугольника, всегда будет приводить к параллелограмму, а площадь этого всегда будет вдвое меньше площади четырехугольника, если она плоская и выпуклая. Например:

На рисунке мы можем видеть четырехугольник с площадью X, где средние точки сторон представлены E, F, G и H и, когда они соединены, образуют параллелограмм. Площадь четырехугольника будет суммой площадей треугольников, которые сформировались, и половина из них соответствует площади параллелограмма..

Поскольку площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника, периметр этого параллелограмма может быть определен.

Таким образом, периметр равен сумме длин диагоналей четырехугольника; это потому, что медиана четырехугольника будет диагональю параллелограмма.

С другой стороны, если длины диагоналей четырехугольника точно одинаковы, параллелограмм будет ромбом. Например:

Из рисунка видно, что, соединяя средние точки сторон четырехугольника, получается ромб. С другой стороны, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, параллелограмм будет прямоугольником.

Также параллелограмм будет квадратом, когда четырехугольник имеет диагонали одинаковой длины и также будет перпендикулярным.

Теорема не только выполняется в плоских четырехугольниках, она также реализуется в пространственной геометрии или в больших измерениях; то есть в тех четырехугольниках, которые не являются выпуклыми. Примером этого может быть октаэдр, где средние точки являются центроидами каждой грани и образуют параллелепипед.

Таким образом, соединяя средние точки разных фигур, можно получить параллелограммы. Простой способ проверить, действительно ли это так, состоит в том, что противоположные стороны должны быть параллельны, когда они расширены..

примеров

Первый пример

Продолжение противоположных сторон, чтобы показать, что это параллелограмм:

Второй пример

Соединяя середины алмаза, мы получаем прямоугольник:

Теорема используется в объединении точек, расположенных в середине сторон четырехугольника, и может также использоваться для других типов точек, таких как трисекция, пента-сечение или даже бесконечное число сечений ( nth), чтобы разделить стороны любого четырехугольника на отрезки, которые пропорциональны.

Решенные упражнения

Упражнение 1

На рисунке мы имеем четырехугольный ABCD области Z, где средние точки сторон этого являются PQSR. Проверьте, что параллелограмм Varignon сформирован.

решение

Можно проверить, что при соединении точек PQSR формируется параллелограмм Вариньона именно потому, что в утверждении заданы средние точки четырехугольника.

Чтобы продемонстрировать это, средние точки PQSR объединены, поэтому можно видеть, что формируется еще один четырехугольник. Чтобы показать, что это параллелограмм, вам просто нужно нарисовать прямую линию из точки C в точку A, чтобы вы могли видеть, что CA параллельна PQ и RS.

Аналогично, расширяя стороны PQRS, можно отметить, что PQ и RS параллельны, как показано на следующем рисунке:

Упражнение 2

У него есть прямоугольник такой, что длины всех его сторон равны. При соединении середин этих сторон формируется ромб ABCD, который разделен на две диагонали AC = 7 см и BD = 10 см, которые совпадают с измерениями сторон прямоугольника. Определите области ромба и прямоугольника.

решение

Помня, что площадь полученного параллелограмма составляет половину четырехугольника, вы можете определить область этих значений, зная, что мера диагоналей совпадает со сторонами прямоугольника. Итак, вы должны:

AB = D

CD = d

_{прямоугольник} = (AB _* CD) = (10 см _* 7 см) = 70 см²

_ромб = A _{прямоугольник} / 2

_ромб = 70 см² / 2 = 35 см²

Упражнение 3

Мы имеем на рисунке четырехугольник, который имеет объединение точек EFGH, даны длины отрезков. Определите, является ли связывание EFGH параллелограммом.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

решение

Учитывая длину сегментов, можно проверить, существует ли пропорциональность между сегментами; то есть мы можем знать, параллельны ли они, соотнося сегменты четырехугольника следующим образом:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Затем проверяется пропорциональность, так как:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Аналогично, при построении линии от точки B к точке D мы можем видеть, что EH параллельна BD, так же как BD параллельна FG. С другой стороны, EF параллелен GH.

Таким образом, можно определить, что EFGH является параллелограммом, потому что противоположные стороны параллельны.

ссылки

1. Андрес Т. (2010). Математическая олимпиада Tresure. прыгун. Нью йорк.
2. Barbosa, J.L. (2006). Плоская евклидова геометрия. SBM. Рио-де-Жанейро.
3. Ховар Э. (1969). Изучение геометрии. Мексика: латиноамериканский - американский.
4. Рамо, Г. П. (1998). Неизвестные решения проблем Ферма-Торричелли. ISBN - Самостоятельная работа.
5. Вера Ф. (1943). Элементы геометрии. Богота.
6. Вильерс, М. (1996). Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Южная африка.