Поделиться:
Теорема Фалеса Милета Первого, Второго и Примеры
Первое и второе Теорема Фалеса Милета они основаны на определении треугольников из других подобных (первая теорема) или окружностей (вторая теорема). Они были очень полезны в различных областях. Например, первая теорема оказалась очень полезной для измерения больших конструкций, когда не было сложных измерительных приборов.
Фалес был греческий математик, при условии, важный вклад в геометрию которых выделить эти две теоремы (в некоторых текстах, как и написанные, как Thales) и полезных приложений. Эти результаты были использованы на протяжении всей истории и помогли решить широкий спектр геометрических задач.
индекс
- 1 Первая теорема сказок
- 1.1 Применение
- 1.2 Примеры
- 2 Вторая теорема сказок
- 2.1 Применение
- 2.2 Пример
- 3 Ссылки
Первая теорема сказок
Первая теорема Сказок является очень полезным инструментом, который, помимо прочего, позволяет построить треугольник, похожий на другой, ранее известный. Отсюда выводят различные версии теоремы, которые могут применяться в нескольких контекстах.
Прежде чем дать свое утверждение, запомните некоторые понятия сходства треугольников. По сути, два треугольника похожи, если их углы совпадают (они имеют одинаковую меру). Это приводит к тому, что, если два треугольника похожи, их соответствующие стороны (или гомологи) пропорциональны.
Первая теорема утверждает, что если Такой треугольник дал линию, параллельную любой стороне обращается, новый треугольник, который получается будет похож на начальный треугольник.
Вы также получаете взаимосвязь между образующимися углами, как показано на следующем рисунке..
приложение
Среди его многочисленных применений выделяется один из них, который представляет особый интерес и связан с одним из способов измерения больших структур в древности, времени, когда жил Фалес, и в котором современные измерительные устройства были недоступны. они существуют сейчас.
Говорят, что именно так Фалес смог измерить самую высокую пирамиду в Египте, Хеопса. Для этого Фалес предположил, что отражения солнечных лучей коснулись земли, образуя параллельные линии. Согласно этому предположению, он втыкал палку или трость вертикально в землю.
Затем он использовал сходство двух полученных в результате треугольников, один из которых образован длиной тени пирамиды (которую можно легко рассчитать) и высотой пирамиды (неизвестно), а другой - длиной тени и высота стержня (который также может быть легко рассчитан).
Используя пропорциональность между этими длинами, вы можете очистить и узнать высоту пирамиды.
Хотя этот метод измерения может бросить ошибки существенного подхода в отношении точности высоты и зависит от параллельности солнечных лучей (которые, в свою очередь, зависят от точного времени), мы должны признать, что это очень умная идея и это обеспечивает хорошую альтернативу для измерения времени.
примеров
Найдите значение x в каждом случае:
решение
Здесь у нас есть две линии, отрезанные двумя параллельными линиями. Согласно первой теореме Фалеса, их соответственные стороны пропорциональны. В частности:
решение
Здесь у нас есть два треугольника, один из которых образован отрезком, параллельным одной из сторон другой (именно сторона длины x). По первой теореме сказок вы должны:
Вторая теорема сказок
Вторая теорема Фалеса определяет прямоугольный треугольник, вписанный в окружность в каждой точке одного и того же.
Треугольник, вписанный в окружность, представляет собой треугольник, вершины которого находятся на окружности, и, таким образом, содержится в этом.
В частности, вторая теорема Фалеса гласит следующее: при заданной окружности центра O и диаметра AC каждая точка B окружности (кроме A и C) определяет прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В качестве обоснования отметим, что как OA, так и OB и OC соответствуют радиусу окружности; следовательно, их измерения одинаковы. Оттуда получается, что треугольники OAB и OCB равнобедренные, где Известно, что сумма углов треугольника равна 180º. Используя это с треугольником ABC, вы должны: 2b + 2a = 180º. Эквивалентно, мы имеем, что b + a = 90º и b + a = Обратите внимание, что прямоугольный треугольник, представленный во второй теореме Фалеса, является именно тем, у которого гипотенуза равна диаметру окружности. Следовательно, он полностью определяется полукругом, который содержит точки треугольника; в этом случае верхний полукруг. Отметим также, что треугольник, полученный на второй теореме Таким образом, гипотенуза делится на две равные части ОА и OC (радиус). В свою очередь, эта мера равна сегмента OB (также радиус), что соответствует среднему треугольника АВС B. Другими словами, длина медианы прямоугольного треугольника ABC, соответствующей вершине B, полностью определяется половиной гипотенузы. Напомним, что медиана треугольника - это отрезок от одной из вершин до середины противоположной стороны; в этом случае сегмент БО. Другой способ увидеть вторую теорему Фалеса - через круг, описанный в прямоугольном треугольнике.. Как правило, окружность, описанная в многоугольнике, состоит из окружности, которая проходит через каждую из его вершин, когда это возможно, чтобы проследить его. Используя вторую теорему Фалеса, учитывая прямоугольный треугольник, мы всегда можем построить описанную окружность, радиус которой равен половине гипотенузы, а центр окружности (центр окружности) равен средней точке гипотенузы.. Очень важное применение второй теоремы Сказок, и, возможно, наиболее используемое, состоит в том, чтобы найти касательные линии к заданной окружности, точкой P, внешней по отношению к этой (известной). Обратите внимание, что при заданной окружности (отмеченной синим цветом на рисунке ниже) и внешней точке P две окружности касаются окружности, проходящей через P. Пусть T и T '- точки касания, r - радиус окружности и Или центр. Известно, что отрезок, идущий от центра окружности к точке ее касания, перпендикулярен этой касательной. Тогда угол OTP прямой. Из того, что мы видели ранее в первой теореме Фалеса и ее различных версиях, мы видим, что возможно вписать треугольник OTP в другую окружность (красным). Аналогично получается, что треугольник OT'P может быть вписан в ту же предыдущую окружность. По второй теореме Фалеса мы также получаем, что диаметр этой новой окружности является точно гипотенузой треугольника OTP (который равен гипотенузе треугольника OT'P), а центр является серединой этой гипотенузы.. Для того, чтобы вычислить центр нового круга достаточно затем рассчитать среднюю точку между центральным скажут M- начальной окружности (уже известно) и в точке Р (также известный). Затем, радиус является расстоянием между этой точкой М и Р. С радиусом и центром красного круга мы можем найти его декартово уравнение, которое, как мы помним, имеет вид (x-h)2 + (Y, к)2 = с2, где c - радиус, а точка (h, k) - центр круга. Зная теперь уравнения обеих окружностей, мы можем пересекать их, решая систему уравнений, образованную ими, и, таким образом, получая точки касания T и T '. Наконец, чтобы узнать искомые касательные линии, достаточно найти уравнение прямых, проходящих через T и P, а также по T 'и P. Рассмотрим окружность диаметром AC, центром O и радиусом 1 см. Пусть B - точка на окружности, такая что AB = AC. Сколько измеряет AB? По второй теореме Фалеса мы имеем, что треугольник ABC является прямоугольником, а гипотенуза соответствует диаметру, который в этом случае составляет 2 см (радиус 1 см). Тогда по теореме Пифагора мы должны:
Обведенная окружность
приложение
пример
решение
ссылки