Теорема Моивра о том, что состоит, демонстрационные и решенные упражнения

Теорема Моивра применяет фундаментальные процессы алгебры, такие как полномочия и извлечение корней в комплексные числа. Эта теорема была изложена известным французским математиком Авраамом де Моивром (1730), который связал комплексные числа с тригонометрией.

Авраам Моивр сделал эту ассоциацию через выражения груди и косинуса. Этот математик сгенерировал своего рода формулу, с помощью которой можно повысить комплексное число z до степени n, которая является положительным целым числом, большим или равным 1.

индекс

• 1 Что такое теорема Моавра??
• 2 Демонстрация
  • 2.1 Индуктивная база
  • 2.2 Индуктивная гипотеза
  • 2.3 Проверка
  • 2.4 Отрицательное целое число
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Расчет положительных сил
  • 3.2 Расчет отрицательных сил
• 4 Ссылки

Что такое теорема Моавра??

Теорема Моивра утверждает следующее:

Если у вас есть комплексное число в полярной форме z = r_ɵ, где r - модуль комплексного числа z, а угол called называется амплитудой или аргументом любого комплексного числа с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, для вычисления его n-й степени нет необходимости умножать его на себя n раз; то есть нет необходимости производить следующий продукт:

Z^N = z _* Z _* Z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} р_{Ɵ *} р_{Ɵ * ... *} р_ɵ   п раз.

Напротив, теорема говорит, что при записи z в его тригонометрической форме, чтобы вычислить n-ую степень, мы действуем следующим образом:

Если z = r (cos Ɵ + i _* грех Ɵ) тогда г^N = г^N (потому что n * Ɵ + I _* грешить *).

Например, если n = 2, то z² = г²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Если у вас есть это n = 3, то г³ = z² _* г. Кроме того:

Z³ = г²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[потому что 3 (Ɵ) + я грешу 3 (Ɵ)].

Таким образом, тригонометрические соотношения синуса и косинуса могут быть получены для кратных угла, если известны тригонометрические соотношения угла..

Таким же образом его можно использовать для поиска более точных и менее запутанных выражений для n-го корня комплексного числа z, так что z^N = 1.

Чтобы продемонстрировать теорему Мойвра, используется принцип математической индукции: если целое число «а» имеет свойство «P», и если для любого целого числа «n» больше, чем «a», которое имеет свойство «P», оно является удовлетворяет тому, что n + 1 также имеет свойство «P», тогда все целые числа, большие или равные «a», имеют свойство «P».

шоу

Таким образом, доказательство теоремы выполняется с помощью следующих шагов:

Индуктивная база

Первая проверка для n = 1.

Как я¹ = (r (cos Ɵ + i) _* сен Ɵ))¹ = г¹ (потому что + я _* сен Ɵ)¹ = г¹ [cos (1_* I) + я _* sen (1_* Ɵ)], имеем при n = 1 теорема выполнена.

Индуктивная гипотеза

Предполагается, что формула верна для некоторого натурального числа, то есть n = k.

Z^К = (r (cos Ɵ + i) _* сен Ɵ))^К  = г^К (потому что K Ɵ + I _* сен к Ɵ).

тестирование

Доказано, что это верно для n = k + 1.

Как я^{к + 1}= z^К _* z, то z^{к + 1} = (r (cos Ɵ + i) _* сен Ɵ))^{к + 1} = г^К (потому что kƟ + я _* сен кƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Тогда выражения умножаются:

Z^{к + 1} = г^{к + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(я_*senƟ) + (я _* сен кƟ)_*(cosƟ) + (я _* сен кƟ)_*(я_* senƟ)).

На мгновение фактор r игнорируется^{к + 1},  и общий коэффициент i удален:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + я (sen kƟ)_*(cosƟ) + я²(сен кƟ)_*(SenƟ).

Как я² = -1, подставляем его в выражение и получаем:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + я (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Теперь действительная и мнимая части упорядочены:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Чтобы упростить выражение, применяются тригонометрические тождества суммы углов для косинуса и синуса, которые:

cos (A + B) = cos A _* потому что B - сен A _* сен Б.

сен (A + B) = грех A _* cos B - cos A _* потому что B.

В этом случае переменными являются углы Ɵ и kƟ. Применяя тригонометрические тождества, мы имеем:

потому что _* cosƟ -  сен кƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

сен кƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Таким образом, выражение остается:

Z^{к + 1} = г^{к + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* сен (kƟ + Ɵ))

Z^{к + 1} = г^{к + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* сен [(k +1) Ɵ]).

Таким образом, можно показать, что результат верен для n = k + 1. По принципу математической индукции делается вывод, что результат верен для всех натуральных чисел; то есть n ≥ 1.

Целое отрицательное

Теорема Моивра также применяется, когда n ≤ 0. Рассмотрим отрицательное целое число «n»; тогда «n» можно записать как «-m», то есть n = -m, где «m» - положительное целое число. Поэтому:

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = (cos Ɵ + i _* сен Ɵ) ^-м

Чтобы получить показатель степени «m» положительным образом, выражение записывается обратно:

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* сен Ɵ) ^м

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = 1 ÷ (cos mƟ + i _* сен мƟ)

Теперь используется, что если z = a + b * i является комплексным числом, то 1 ÷ z = a-b * i. Поэтому:

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = cos (mƟ) - я _* сен (мƟ).

Используя cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), мы должны:

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = [cos (mƟ) - я _* сен (мƟ)]

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = cos (- mƟ) + i _* сен (-мƟ)

(потому что + я _* сен Ɵ)^N = cos (nƟ) - я _* сен (нет).

Таким образом, мы можем сказать, что теорема применима ко всем целочисленным значениям «n».

Решенные упражнения

Расчет положительных сил

Одной из операций с комплексными числами в их полярной форме является умножение между двумя из них; в этом случае модули умножаются, а аргументы добавляются.

Если у вас есть два комплексных числа г₁ и я₂ и вы хотите рассчитать (г₁* z₂)², Затем действуем следующим образом:

Z₁Z₂ = [г₁ (потому что₁ + Я _* сен Ɵ₁)] * [r₂ (потому что₂ + Я _* сен Ɵ₂)]

Распределительное свойство применяется:

Z₁Z₂ = г₁ р₂ (потому что_{1 *} потому что₂ + Я _* потому что_{1 *} Я _* сен Ɵ₂ + Я _* сен Ɵ_{1 *} потому что₂ + Я²_* сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂).

Они сгруппированы, принимая термин «я» в качестве общего фактора выражений:

Z₁Z₂ = г₁ р₂ [потому что_{1 *} потому что₂ + я (потому что Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} потому что₂) + я²_* сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂]

Как я² = -1, заменяется в выражении:

Z₁Z₂ = г₁ р₂ [потому что_{1 *} потому что₂ + я (потому что Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} потому что₂) - sen Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂]

Реальные термины перегруппированы с реальными, а мнимые с мнимыми:

Z₁Z₂ = г₁ р₂ [(cos Ɵ_{1 *} потому что₂ - сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂) + я (cos Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} потому что₂)]

Наконец, применяются тригонометрические свойства:

Z₁Z₂ = г₁ р₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + я сен (Ɵ₁ + ɵ₂)].

В заключение:

(г₁* z₂)²= (г₁ р₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + я сен (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²р₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + я сен 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Упражнение 1

Запишите комплексное число в полярной форме, если z = - 2 -2i. Затем, используя теорему Моивре, вычислим z⁴.

решение

Комплексное число z = -2 -2i выражается в прямоугольной форме z = a + bi, где:

а = -2.

б = -2.

Зная, что полярная форма есть z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), вам нужно определить значение модуля «r» и значение аргумента «Ɵ». Поскольку r = √ (a² + b²), данные значения заменяются:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Затем для определения значения «Ɵ» применяется прямоугольная форма, которая определяется по формуле:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Как загар (Ɵ) = 1, и вы должны<0, entonces se tiene que:

Ɵ = арктан (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Поскольку значения «r» и «Ɵ» уже получены, комплексное число z = -2 -2i можно выразить в полярной форме, подставив значения:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* сен (5Π / 4)).

Теперь теорема Моавра используется для расчета Z⁴:

Z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* сен (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* сен (5Π)).

Упражнение 2

Найдите произведение комплексных чисел, выразив его в полярной форме:

z1 = 4 (cos 50^или + Я_* 50 сен^или)

z2 = 7 (cos 100^или + Я_* 100 сен^или).

Затем рассчитайте (z1 * z2) ².

решение

Сначала получается произведение данных чисел:

Z₁ Z₂ = [4 (cos 50^или + Я_* 50 сен^или)] * [7 (cos 100^или + Я_* 100 сен^или)]

Затем умножьте модули вместе и добавьте аргументы:

Z₁ Z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^или + 100^или) + я_* сен (50^или + 100^или)]

Выражение упрощено:

Z₁ Z₂ = 28 _* (стоимость 150^или + (я_* 150 сен^или).

Наконец, применяется теорема Моавра:

(z1 * z2) ² = (28 _* (стоимость 150^или + (я_* 150 сен^или)) ² = 784 (стоимость 300)^или + (я_* 300 сен^или)).

Расчет отрицательных сил

Разделить два комплексных числа z₁ и я₂ в своей полярной форме модуль делится, а аргументы вычитаются. Таким образом, частное z₁ ÷ z₂ и это выражается следующим образом:

Z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + я сен (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Как и в предыдущем случае, если вы хотите вычислить (z1 ÷ z2) ³ сначала делится деление, а затем используется теорема Моивра.

Упражнение 3

дано:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

рассчитать (z1 ÷ z2) ³.

решение

Следуя шагам, описанным выше, можно сделать вывод, что:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

ссылки

1. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
2. Краучер М. (с.ф.). Из теоремы Моивра для тригономических тождеств. Демонстрационный проект Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Энциклопедия математики.
4. Макс Питерс, В. Л. (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Перес, C. D. (2010). Пирсон Образование.
6. Стэнли, Дж. (С.ф.). Линейная алгебра Грау-Хилл.
7. , М. (1997). Тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.