Формулы Евклида, демонстрация, применение и упражнения

Теорема Евклида демонстрирует свойства прямоугольного треугольника, рисуя линию, которая делит его на два новых прямоугольных треугольника, которые похожи друг на друга и, в свою очередь, похожи на исходный треугольник; то есть отношение пропорциональности.

Евклид был одним из величайших математиков и геометров древнего века, который сделал несколько демонстраций важных теорем. Одним из основных является тот, который носит его имя, который получил широкое применение.

Это было так, потому что, по этой теореме говорит просто существующие геометрические отношения в треугольнике, где ноги этого связаны с их проекциями на гипотенузе.

индекс

• 1 Формулы и демонстрация
  • 1.1 Теорема о высоте
  • 1.2 Теорема о ножках
• 2 Связь между теоремами Евклида
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Ссылки

Формулы и демонстрация

Теорема Евклида предполагает, что в каждом прямом треугольнике, когда рисуется линия, которая представляет высоту, соответствующую вершине прямого угла относительно гипотенузы, два прямоугольных треугольника образуются из оригинала..

Эти треугольники подобны друг другу, а также быть похож на оригинальный треугольник, а это значит, что их собратья стороны пропорциональны друг другу:

Углы трех треугольников совпадают; то есть, когда его вершина поворачивается на 180 градусов, угол совпадает с другой. Это подразумевает, что все будут равны.

Таким образом, вы также можете проверить сходство, которое существует между тремя треугольниками, по равенству их углов. Исходя из сходства треугольников, Евклид устанавливает их пропорции из двух теорем:

- Теорема о высоте.

- Теорема о ногах.

Эта теорема имеет широкое применение. В древности он использовался для расчета высоты или расстояния, что представляет собой большой прогресс для тригонометрии.

В настоящее время он применяется в нескольких областях, основанных на математике, таких как инженерия, физика, химия и астрономия, а также во многих других областях..

Теорема о высоте

Эта теорема утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике высота, оттянутая под прямым углом относительно гипотенузы, является геометрическим пропорциональным средним (квадрат высоты) между проекциями ног, которые определяют гипотенузу..

То есть квадрат высоты будет равен умножению спроецированных ног, образующих гипотенузу:

час_с² = м _* N

шоу

Так, это прямоугольник в вершине C, чтобы составить треугольник АВС два подобных треугольника, генерируются АЦП и BCD; Поэтому, их соответствующие стороны пропорциональны:

Таким образом, что высота h_с который соответствует сегменту CD, соответствует гипотенузе AB = c, поэтому необходимо:

В свою очередь это соответствует:

Очистка гипотенузы (ч_с), чтобы умножить два члена равенства, вы должны:

час_{с *} час_{с =} м _* N

час_с² = м _* N

Таким образом, значение гипотенузы определяется как:

Теорема о ногах

Эта теорема утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике мера каждой ноги будет средним геометрическим пропорциональным (квадрат каждой ноги) между измерением гипотенузы (завершено) и проекцией каждого на нее:

б² = с _* м

в² = с_* N

шоу

Для данного треугольника ABC, который является прямоугольником в вершине C, так что его гипотенуза равна c, при построении высоты (h) определяются проекции ножек a и b, которые являются отрезками m и n соответственно. гипотенуза.

Таким образом, высота должна быть обращена на треугольнике АВС генерирует два одинаковых прямоугольников, треугольники ADC и BCD, так что соответствующие стороны пропорциональны, а также:

DB = n, который является проекцией ноги CB на гипотенузу.

AD = m, которая является проекцией катетера AC на гипотенузу.

Тогда гипотенуза c определяется по сумме ножек ее проекций:

с = м + н

Из-за сходства треугольников ADC и BCD нам необходимо:

Вышеуказанное совпадает с:

Очистив ногу «а», чтобы умножить два члена равенства, нужно:

в _* а = с _* N

в² = с _* N

Таким образом, значение ноги "а" определяется как:

Аналогично, по сходству треугольников ACB и ADC мы должны:

Выше равно:

Очистив ногу "b", чтобы умножить два члена равенства, нужно:

б _* б = с _* м

б² = с _* м

Таким образом, значение ноги "b" определяется как:

Связь между теоремами Евклида

Теоремы со ссылкой на высоту и ноги взаимосвязаны, потому что измерение выполняются как для гипотенузы треугольника.

С помощью соотношения теорем Евклида значение высоты также может быть найдено; это возможно путем очистки значений m и n из теоремы о ножке, и они заменяются в теореме о высоте. Таким образом, высота равна умножению ног, разделенному на гипотенузу:

б² = с _* м

м = б² ÷ с

в² = с _* N

n = a² ÷ с

В теореме о высоте m и n заменены:

час_с² = м _* N

час_с² = (б² ÷ в) _* (а² ÷ в)

час_с = (б²_* в²) ÷ с

Решенные упражнения

Пример 1

Учитывая треугольник ABC, прямоугольник в A, определите меру AC и AD, если AB = 30 см и BD = 18 см.

решение

В этом случае у нас есть измерения одной из спроектированных ног (BD) и одной из ног исходного треугольника (AB). Таким образом, вы можете применить теорему ноги, чтобы найти значение ноги BC.

AB² = BD _* до нашей эры

(30)² = 18 _* до нашей эры

900 = 18 _* до нашей эры

БК = 900 ÷ 18

БК = 50 см

Значение CD катетуса может быть найдено, зная, что BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 см

Теперь можно определить значение AC катета, снова применив теорему о ноге:

переменный ток² = CD _* BD

переменный ток² = 32 _* 50

переменный ток² = 160

AC = √1600 = 40 см

Для определения значения высоты (AD) применяется теорема о высоте, поскольку известны значения спроецированных ножек CD и BD:

нашей эры² = 32 _* 18

нашей эры² = 576

AD = √576

AD = 24 см

Пример 2

Определите значение высоты (h) треугольника MNL, прямоугольника в N, зная размеры сегментов:

NL = 10 см

MN = 5 см

PM = 2 см

решение

У вас есть измерение одной из ног, спроецированных на гипотенузу (PM), а также измерения ног исходного треугольника. Таким образом, теорема ноги может быть применена, чтобы найти значение другой спроектированной ноги (LN):

NL² = Вечера _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

По мере того как значение ног и гипотенузы, как известно, через соотношение высоты теоремы и ноги можно определить значение высоты:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

ч = (б²_* в²) ÷ с.

ч = (10²_* 5²)  ÷ (20)

ч = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 см.

ссылки

1. Браун Э. (2011). Хаос, фракталы и странные вещи. Фонд Экономической Культуры.
2. Кабрера, В. М. (1974). Современная математика, том 3.
3. Даниэль Эрнандес, Д. П. (2014). 3-й курс математики Каракас: Сантильяна.
4. Энциклопедия Британика, я. (1995). Испанская энциклопедия: Макропедия. Энциклопедия Британника Издательства.
5. Евклид Р. П. (1886). Евклидовы элементы геометрии.
6. Guardeño, A.J. (2000). Наследие математики: от Евклида до Ньютона, гении через его книги. Севильский университет.