Теорема Чебышова, из чего она состоит, приложения и примеры



Теорема Чебышова (или неравенство Чебышова) является одним из важнейших классических результатов теории вероятностей. Это позволяет оценить вероятность события, описанного в терминах случайной величины X, предоставляя нам измерение, которое зависит не от распределения случайной величины, а от дисперсии X.

Теорема названа в честь русского математика Пафнута Чебышова (также написанного как Чебычев или Чебышев), который, хотя и не был первым, кто излагал эту теорему, был первым, кто продемонстрировал ее в 1867 году.

Это неравенство, или те, которые по своим характеристикам называют неравенством Чебышова, используется главным образом для аппроксимации вероятностей посредством вычисления размерностей..

индекс

  • 1 Из чего он состоит??
  • 2 Приложения и примеры
    • 2.1 Граничные вероятности
    • 2.2 Демонстрация предельных теорем
    • 2.3 Размер выборки
  • 3 Неравенства типа Чебышова
  • 4 Ссылки

Из чего он состоит??

При изучении теории вероятностей случается так, что если мы знаем функцию распределения случайной величины X, мы можем вычислить ее ожидаемое значение - или математическое ожидание E (X) - и его дисперсию Var (X), пока указанные суммы существуют. Тем не менее, взаимное не обязательно верно.

То есть, зная E (X) и Var (X), не всегда возможно получить функцию распределения X, поэтому такие величины, как P (| X |> k) для некоторого k> 0, очень трудно получить. Но благодаря неравенству Чебышова можно оценить вероятность случайной величины.

Теорема Чебышова говорит нам, что если мы имеем случайную переменную X над образцом пространства S с функцией вероятности p, а если k> 0, то:

Приложения и примеры

Среди множества приложений, которыми обладает теорема Чебышова, можно отметить следующие:

Оценка вероятностей

Это наиболее распространенное приложение, и оно используется для определения верхней границы для P (| X-E (X) | ≥k), где k> 0, только с дисперсией и ожиданием случайной величины X, без знания функции вероятности..

Пример 1

Предположим, что количество продуктов, произведенных в компании в течение недели, является случайной величиной в среднем 50.

Если мы знаем, что дисперсия недели производства равна 25, то что мы можем сказать о вероятности того, что на этой неделе производство будет отличаться более чем на 10 от среднего?

решение

Применяя неравенство Чебышова, мы должны:

Отсюда можно получить, что вероятность того, что на неделе производства количество изделий превышает более 10, в среднем составляет не более 1/4.

Демонстрация предельных теорем

Неравенство Чебышова играет важную роль в демонстрации наиболее важных предельных теорем. В качестве примера у нас есть следующее:

Слабый закон больших чисел

Этот закон устанавливает, что для заданной последовательности X1, X2, ..., Xn, ... независимых случайных величин с одинаковым средним распределением E (Xi) = μ и дисперсией Var (X) = σ2, и известный средний образец:

Тогда для k> 0 вы должны:

Или, что эквивалентно:

шоу

Сначала давайте заметим следующее:

Поскольку X1, X2, ..., Xn независимы, отсюда следует, что:

Следовательно, можно утверждать следующее:

Тогда, используя теорему Чебышова, мы должны:

Наконец, теорема вытекает из того факта, что предел справа равен нулю, когда n стремится к бесконечности.

Следует отметить, что этот тест был выполнен только для случая, когда существует дисперсия Xi; то есть не расходится. Таким образом, мы видим, что теорема всегда верна, если E (Xi) существует.

Предельная теорема Чебышова

Если X1, X2, ..., Xn, ... - последовательность независимых случайных величин, такая что C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

шоу

Поскольку последовательность дисперсий ограничена равномерно, мы имеем Var (Sn) ≤ C / n для всех натуральных n. Но мы знаем, что:

Делая n стремиться к бесконечности, получим следующие результаты:

Поскольку вероятность не может превышать значение 1, желаемый результат получается. Как следствие этой теоремы мы могли бы упомянуть частный случай Бернулли.

Если эксперимент повторяется n раз независимо с двумя возможными результатами (неудачей и успехом), где p - вероятность успеха в каждом эксперименте, а X - случайная величина, представляющая количество полученных успехов, то для каждого k> 0 Вы должны:

Размер выборки

С точки зрения дисперсии неравенство Чебышова позволяет нам найти размер выборки n, достаточный для того, чтобы гарантировать, что вероятность того, что | Sn-μ |> = k, будет настолько мала, насколько это необходимо, что позволяет нам иметь приближение в среднем.

Точно, пусть X1, X2, ... Xn - выборка независимых случайных величин размера n, и предположим, что E (Xi) = μ и его дисперсия σ2. Тогда из-за неравенства Чебышова мы должны:

пример

Предположим, что X1, X2, ... Xn - выборка независимых случайных величин с распределением Бернулли, так что они принимают значение 1 с вероятностью p = 0,5.

Каким должен быть размер выборки, чтобы гарантировать, что вероятность того, что разница между средним арифметическим Sn и его ожидаемым значением (превышающим более 0,1) будет меньше или равна 0,01?

решение

Мы имеем, что E (X) = μ = p = 0,5 и что Var (X) = σ2= р (1-р) = 0,25. Для неравенства Чебышова для любого k> 0 нужно:

Теперь, принимая k = 0,1 и δ = 0,01, мы должны:

Таким образом, делается вывод, что размер выборки не менее 2500 необходим для обеспечения того, чтобы вероятность события | Sn - 0,5 |> = 0,1 была менее 0,01..

Неравенства типа Чебышова

Существуют различные неравенства, связанные с неравенством Чебышова. Одним из наиболее известных является неравенство Маркова:

В этом выражении X является неотрицательной случайной величиной с k, r> 0.

Неравенство Маркова может принимать различные формы. Например, пусть Y - неотрицательная случайная величина (поэтому P (Y> = 0) = 1) и предположим, что E (Y) = µ существует. Предположим также, что (E (Y))р= μр существует для некоторого целого числа r> 1. то:

Другое неравенство Гаусса, которое говорит нам, что если дана унимодальная случайная величина X с модой в нуле, то при k> 0,

ссылки

  1. Кай Лай Чунг Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Розен Дискретная математика и ее приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. Inc. Мексиканская Альгамбра.
  4. Сеймур Липшуц к.т.н. 2000 Дискретная математика решенных задач. McGraw-Hill.
  5. Сеймур Липшуц к.т.н. Теория и проблемы вероятности. McGraw-Hill.