Теорема Больцано Объяснение, приложения и упражнения решены

Теорема Больцано устанавливает, что если функция непрерывна во всех точках замкнутого интервала [a, b] и удовлетворена тем, что изображения «a» и «b» (под функцией) имеют противоположные знаки, то будет хотя бы одна точка «C» в открытом интервале (a, b), так что функция, вычисленная в «c», будет равна 0.

Эта теорема была изложена философом, теологом и математиком Бернардом Больцано в 1850 году. Этот ученый, родившийся в современной Чешской Республике, был одним из первых в истории математиков, который сделал формальную демонстрацию свойств непрерывных функций.

индекс

• 1 Объяснение
• 2 Демонстрация
• 3 Для чего это нужно??
• 4 упражнения выполнены
  • 4.1 Упражнение 1
  • 4.2 Упражнение 2
• 5 ссылок

объяснение

Теорема Больцано также известна как теорема о промежуточных значениях, которая помогает в определении конкретных значений, в частности нулей, некоторых реальных функций реальной переменной.

В данной функции функция f (x) продолжается, то есть f (a) и f (b) связаны кривой, где f (a) находится ниже оси x (отрицательно), а f (b) выше оси x (она положительна) или наоборот, графически на оси x будет точка среза, которая будет представлять промежуточное значение «c», которое будет между «a» и «b», и значение f (c) будет равно 0.

Графически анализируя теорему Больцано, мы можем узнать, что для любой непрерывной функции f, определенной в интервале [a, b], где f (a)_*f (b) меньше 0, в интервале (a, b) будет хотя бы один корень "c" этой функции.

Эта теорема не устанавливает число точек, существующих в этом открытом интервале, а только утверждает, что существует хотя бы 1 точка.

шоу

Для доказательства теоремы Больцано предполагается без ограничения общности, что f (a) < 0 y f(b) > 0; таким образом, между "a" и "b" может быть много значений, для которых f (x) = 0, но вам нужно только показать, что есть один.

Начните с оценки f в средней точке (a + b) / 2. Если f ((a + b) / 2) = 0, то проверка заканчивается здесь; в противном случае, f ((a + b) / 2) является положительным или отрицательным.

Одна из половин интервала [a, b] выбрана так, что знаки функции, вычисленной на концах, различны. Этот новый интервал будет [a1, b1].

Теперь, если f, вычисленное в средней точке [a1, b1], не равно нулю, то выполняется та же операция, что и раньше; то есть выбирается половина этого интервала, которая соответствует условию знаков. Будь этим новым интервалом [a2, b2].

Если этот процесс будет продолжен, то будут взяты две последовательности an и bn, такие что:

an увеличивается, а bn уменьшается:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Если вы рассчитываете длину каждого интервала [ai, bi], вам необходимо:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Следовательно, предел, когда n стремится к бесконечности (bn-an), равен 0.

Используя, что an увеличивается и ограничивается, а bn уменьшается и ограничивается, должно быть значение "c", такое что:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Предел an - это «c», а предел bn - также «c». Следовательно, при любом δ> 0 всегда существует «n», такое что интервал [an, bn] содержится в этом интервале (c-δ, c + δ).

Теперь необходимо показать, что f (c) = 0.

Если f (c)> 0, то, поскольку f непрерывна, существует ε> 0 такое, что f положительно на всем интервале (c-ε, c + ε). Однако, как указано выше, существует значение «n», такое что f меняет знак в [an, bn] и, кроме того, [an, bn] содержится в (c-ε, c + ε), что противоречие.

Если f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 такое, что f отрицательно во всем интервале (c-ε, c + ε); но существует значение "n" такое, что f меняет знак в [an, bn]. Оказывается, что [an, bn] содержится в (c-ε, c + ε), что также противоречит.

Следовательно, f (c) = 0, и это то, что мы хотели продемонстрировать.

Для чего это??

Из своей графической интерпретации теорема Больцано используется для нахождения корней или нулей в непрерывной функции посредством деления пополам (аппроксимации), который представляет собой метод инкрементального поиска, который всегда делит интервалы на 2..

Затем возьмите интервал [a, c] или [c, b], где происходит изменение знака, и повторяйте процесс до тех пор, пока интервал не станет все меньше и меньше, чтобы вы могли приблизиться к желаемому значению; то есть значение, которое функция составляет 0.

Таким образом, чтобы применить теорему Больцано и, таким образом, найти корни, разделить нули функции или дать решение уравнения, выполняются следующие шаги:

- Проверяется, является ли функция f непрерывной в интервале [a, b].

- Если интервал не указан, нужно найти, где функция непрерывна.

- Проверяется, дают ли крайние значения интервала противоположные знаки при оценке в f.

- Если противоположные знаки не получены, интервал следует разделить на два подинтервала, используя среднюю точку.

- Оцените функцию в средней точке и убедитесь, что гипотеза Больцано выполняется, где f (a) _* f (b) < 0.

- В зависимости от знака (положительного или отрицательного) найденного значения, процесс повторяется с новым подинтервалом, пока не будет выполнена упомянутая гипотеза.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Определить, если функция f (x) = x² - 2, имеет хотя бы одно реальное решение в интервале [1,2].

решение

У нас есть функция f (x) = x² - 2. Поскольку он полиномиален, это означает, что он непрерывен в любом интервале.

Вас попросят определить, есть ли у вас реальное решение в интервале [1, 2], поэтому теперь вам нужно только заменить концы интервала в функции, чтобы узнать их знак и узнать, соответствуют ли они условию отличия:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (отрицательный)

f (2) = 2² - 2 = 2 (положительный)

Следовательно, знак f (1) ≠ знак f (2).

Это гарантирует, что существует хотя бы одна точка «c», которая принадлежит интервалу [1,2], где f (c) = 0.

В этом случае значение «с» можно легко рассчитать следующим образом:

х² - 2 = 0

х = ± √2.

Таким образом, √2 ≈ 1,4 принадлежит интервалу [1,2] и удовлетворяет условию f (√2) = 0.

Упражнение 2

Докажите, что уравнение х⁵ + х + 1 = 0 имеет хотя бы одно реальное решение.

решение

Сначала обратите внимание, что f (x) = x⁵ + x + 1 является полиномиальной функцией, что означает, что она непрерывна во всех действительных числах.

В этом случае интервал не задается, поэтому значения следует выбирать интуитивно, предпочтительно близко к 0, чтобы оценить функцию и найти изменения знака:

Если вы используете интервал [0, 1], вы должны:

f (x) = x⁵ + х + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Поскольку нет изменения знака, процесс повторяется с другим интервалом.

Если вы используете интервал [-1, 0], вы должны:

f (x) = x⁵ + х + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

В этом интервале происходит смена знака: знак f (-1) ≠ знак f (0), что означает, что функция f (x) = x⁵ + x + 1 имеет по крайней мере один действительный корень «c» в интервале [-1, 0], так что f (c) = 0. Другими словами, верно, что x⁵ + х + 1 = 0 имеет реальное решение в интервале [-1,0].

ссылки

1. Бронштейн I, С. К. (1988). Пособие по математике для инженеров и студентов ... Редакция МИР.
2. Джордж, А. (1994). Математика и разум. Издательство Оксфордского университета.
3. Ильин В., П. Э. (1991). Математический анализ В трех томах ...
4. Хесус Гомес, Ф. Г. (2003). Учителя среднего образования. Том II. MAD.
5. Матеос, М. Л. (2013). Основные свойства анализа в R. Editores, 20 декабря.
6. Пискунов Н. (1980). Дифференциальное и интегральное исчисление ...
7. Sydsaeter K, H.P. (2005). Математика для экономического анализа. Феликс Варела.
8. Уильям Х. Баркер, Р. Х. (с.ф.). Непрерывная симметрия: от Евклида до Кляйна. Американское математическое общество.