Теорема Бернулли Уравнение, приложения и решенное упражнение Бернулли

Теорема Бернулли, которая описывает поведение жидкости в движении, была изложена математиком и физиком Даниэлем Бернулли в его работе гидродинамика. Согласно этому принципу идеальная жидкость (без трения и вязкости), которая циркулирует по закрытому каналу, будет иметь постоянную энергию на своем пути..

Теорема может быть выведена из принципа сохранения энергии и даже из второго закона движения Ньютона. Кроме того, принцип Бернулли также гласит, что увеличение скорости жидкости означает уменьшение давления, которому она подвергается, уменьшение ее потенциальной энергии или то и другое одновременно.

Теорема имеет много разных применений как в научном мире, так и в повседневной жизни людей..

Его последствия присутствуют в прочности самолетов, в дымоходах домов и промышленных предприятий, в водопроводах, среди других областей..

индекс

• 1 уравнение Бернулли
  • 1.1 Упрощенная форма
• 2 Приложения
• 3 Упражнение решено
• 4 Ссылки

Уравнение Бернулли

Хотя Бернулли был одним из тех, кто пришел к выводу, что давление уменьшается при увеличении скорости потока, правда заключается в том, что именно Леонард Эйлер действительно разработал уравнение Бернулли так, как оно известно в настоящее время..

В любом случае уравнение Бернулли, которое является не чем иным, как математическим выражением его теоремы, выглядит следующим образом:

v² Ƿ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = постоянная

В этом выражении v - скорость жидкости через рассматриваемый участок, ƿ - плотность жидкости, P - давление жидкости, g - значение ускорения свободного падения, а z - высота, измеренная в направлении гравитации.

В уравнении Бернулли подразумевается, что энергия жидкости состоит из трех компонентов:

- Кинетический компонент, который является результатом скорости, с которой движется жидкость.

- Потенциальный или гравитационный компонент, который обусловлен высотой, на которой находится жидкость.

- Энергия давления, которой владеет жидкость в результате давления, которому она подвергается.

С другой стороны, уравнение Бернулли также можно выразить так:

v₁² Ƿ ƿ / 2 + P₁ + ∙ ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ ƿ / 2 + P₂ + ∙ ∙ g ∙ z₂

Это последнее выражение очень удобно для анализа изменений, которые испытывает жидкость, когда изменяется один из элементов, составляющих уравнение.

Упрощенная форма

В некоторых случаях изменение члена ρgz уравнения Бернулли является минимальным по сравнению с тем, которое испытывают другие члены, поэтому можно пренебречь им. Например, это происходит в потоках, которые самолет испытывает в полете.

В этих случаях уравнение Бернулли выражается следующим образом:

P + q = P₀

В этом выражении q - динамическое давление и равно v ² Ƿ ƿ / 2, и P₀ это то, что называется общим давлением и является суммой статического давления P и динамического давления q.

приложений

Теорема Бернулли имеет много разных применений в таких разных областях, как наука, инженерия, спорт и т. Д..

Интересное приложение найдено в дизайне дымоходов. Дымоходы построены высоко для достижения большей разницы давления между основанием и выходом из дымохода, благодаря чему легче отводить газообразные продукты сгорания..

Конечно, уравнение Бернулли также применимо к изучению движения потоков жидкости в трубах. Из уравнения следует, что уменьшение поперечной поверхности трубы с целью увеличения скорости жидкости, проходящей через нее, также подразумевает уменьшение давления.

Уравнение Бернулли также используется в авиации и в транспортных средствах Формулы 1. В случае авиации эффект Бернулли является источником поддержки самолета.

Крылья самолета сконструированы с целью достижения большего воздушного потока в верхней части крыла..

Таким образом, в верхней части крыла скорость воздуха высока и, следовательно, ниже давление. Эта разница в давлении создает силу, направленную вертикально вверх (подъемную силу), которая позволяет воздушному судну удерживаться в воздухе. Аналогичный эффект получается в элеронах автомобилей Формулы 1.

Решительные упражнения

Сквозь трубу сечением 4,2 см² поток воды течет со скоростью 5,18 м / с. Вода спускается с высоты 9,66 м до нижнего уровня с высотой ноль, а поперечная поверхность трубки увеличивается до 7,6 см.².

а) Рассчитайте скорость потока воды на нижнем уровне.

б) Определите давление на нижнем уровне, зная, что давление на верхнем уровне составляет 152000 Па.

решение

а) Поскольку поток должен быть сохранен, выполняется то, что:

Q_{верхний уровень} = Q_{нижний уровень}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 м / с. 4,2 см² = v₂ . 7,6 см ^²

Очистив, вы получите это:

v₂ = 2,86 м / с

б) Применение теоремы Бернулли между двумя уровнями с учетом плотности воды 1000 кг / м³ , Вы получаете это:

v₁² Ƿ ƿ / 2 + P₁ + ∙ ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ ƿ / 2 + P₂ + ∙ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 кг / м³ . (5,18 м / с)² + 152000 + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 9,66 м =

= (1/2). 1000 кг / м³ . (2,86 м / с)² + P₂ + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 0 м

Очистка П₂ Вы получаете к:

P₂ = 257926,4 Па

ссылки

1. Принцип Бернулли. (Н.Д.). В википедии. Получено 12 мая 2018 г. с сайта es.wikipedia.org.
2. Принцип Бернулли. (Н.Д.). В википедии. Получено 12 мая 2018 г. с сайта en.wikipedia.org.
3. Батчелор, Г.К. (1967). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета.
4. Lamb, H. (1993). гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
5. Мотт, Роберт (1996). Механика применяемых жидкостей (4-е изд.). Мексика: Пирсон Образование.