Объяснение теоремы Байеса, приложения, упражнения



Теорема Байеса это процедура, которая позволяет нам выразить условную вероятность случайного события A для данного B, в терминах распределения вероятностей события B для данного A и распределения вероятностей только для A.

Эта теорема очень полезна, потому что благодаря ей мы можем связать вероятность того, что событие A произойдет, зная, что произошло B, с вероятностью того, что произойдет обратное, то есть то, что B произойдет, учитывая A.

Теорема Байеса была серебряным предложением преподобного Томаса Байеса, английского богослова восемнадцатого века, который также был математиком. Он был автором нескольких работ по теологии, но в настоящее время известен несколькими математическими трактатами, среди которых упомянутая выше теорема Байеса выделяется как основной результат..

Байес рассматривал эту теорему в статье под названием «Очерк решения проблемы в доктрине случайностей», опубликованной в 1763 году, и в которой были разработаны большие работы для решения проблемы в доктрине возможностей. Исследования с приложениями в различных областях знаний.

индекс

  • 1 Объяснение
  • 2 приложения теоремы Байеса
    • 2.1 Решенные упражнения
  • 3 Ссылки

объяснение

Во-первых, для дальнейшего понимания этой теоремы необходимы некоторые основные понятия теории вероятностей, особенно теорема умножения для условной вероятности, которая гласит, что

Для E и A - произвольные события образца пространства S.

И определение разделов, которое говорит нам, что если у нас есть1 ,2,..., АN события образца пространства S, они будут формировать раздел S, если AЯ они взаимоисключающие и их союз S.

Имея это, пусть B будет другим событием. Тогда мы можем увидеть B как

ГдеЯ пересекаются с B взаимоисключающие события.

И, следовательно,,

Затем, применяя теорему умножения

С другой стороны, условная вероятность Ai заданного B определяется как

Подставляя адекватно мы должны для любого я

Приложения теоремы Байеса

Благодаря этому результату исследовательским группам и различным корпорациям удалось улучшить системы, основанные на знаниях..

Например, при изучении заболеваний теорема Байеса может помочь определить вероятность того, что заболевание будет обнаружено в группе людей с заданной характеристикой, принимая в качестве данных глобальные показатели заболеваемости и преобладание указанных характеристик в люди как здоровые, так и больные.

С другой стороны, в мире высоких технологий оказали влияние крупные компании, которые разработали, благодаря этому результату, программное обеспечение «На основе знаний».

В качестве повседневного примера у нас есть помощник Microsoft Office. Теорема Байеса помогает программному обеспечению оценить проблемы, с которыми сталкивается пользователь, и определить, какой совет предоставить, и, таким образом, сможет предложить лучший сервис в соответствии с привычками пользователя..

Следует отметить, что эта формула игнорировалась до недавнего времени, главным образом, из-за того, что когда этот результат был разработан 200 лет назад, для них было мало практического применения. Однако в наше время, благодаря огромным технологическим достижениям, ученые нашли способы реализовать этот результат на практике..

Решенные упражнения

Упражнение 1

У сотовой компании есть две машины A и B. 54% произведенных сотовых телефонов сделаны на машине A, а остальные на машине B. Не все произведенные сотовые телефоны находятся в хорошем состоянии..

Доля бракованных сотовых телефонов, произведенных А, составляет 0,2, а В - 0,5. Какова вероятность того, что сотовый телефон указанного завода неисправен? Какова вероятность того, что, зная, что сотовый телефон неисправен, приходят с машины А?

решение

Здесь у вас есть эксперимент, который состоит из двух частей; в первой части происходят события:

A: сотовый телефон, сделанный на машине A.

B: мобильный телефон, сделанный на машине B.

Поскольку машина A производит 54% мобильных телефонов, а остальное производится машиной B, машина B производит 46% мобильных телефонов. Даны вероятности этих событий, а именно:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

События второй части эксперимента:

D: дефектная ячейка.

E: не дефектная ячейка.

Как сказано в утверждении, вероятности этих событий зависят от результата, полученного в первой части:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Используя эти значения, вы также можете определить вероятности дополнений этих событий, то есть:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

и

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Теперь событие D можно записать следующим образом:

Используя теорему умножения для условной вероятности, получаем:

С помощью которого ответ на первый вопрос.

Теперь нам просто нужно вычислить P (A | D), для которого применима теорема Байеса:

Благодаря теореме Байеса можно сказать, что вероятность того, что сотовый телефон был изготовлен машиной А, зная, что сотовый телефон неисправен, составляет 0,319..

Упражнение 2

Три коробки содержат белые и черные шары. Состав каждого из них выглядит следующим образом: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Одна из коробок выбирается случайным образом, из нее извлекается случайный шар, который оказывается белым. Какой ящик, скорее всего, был выбран?

решение

Через U1, U2 и U3 мы также будем представлять выбранную коробку.

Эти события образуют разбиение S, и проверяется, что P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, поскольку выбор ящика является случайным.

Если B = извлеченный шар - белый, мы будем иметь P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

То, что мы хотим получить, это вероятность того, что мяч был вынут из коробки Ui, зная, что шар был белым, то есть P (Ui | B), и посмотреть, какое из трех значений было наибольшим, чтобы знать, какое коробка была скорее всего добыча белого шара.

Применяя теорему Байеса к первому из блоков:

А для двух других:

P (U2 | B) = 2/6 и P (U3 | B) = 1/6.

Тогда первая из коробок - это та, которая с большей вероятностью была выбрана для извлечения белого шара..

ссылки

  1. Кай Лай Чунг Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Розен Дискретная математика и ее приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. Inc. Мексиканская Альгамбра.
  4. Сеймур Липшуц к.т.н. 2000 Дискретная математика решенных задач. McGraw-Hill.
  5. Сеймур Липшуц к.т.н. Теория и проблемы вероятности. McGraw-Hill.