Законы Моргана



Лглаза Моргана это правила вывода, используемые в логике высказываний, которые устанавливают, что является результатом отрицания дизъюнкции и конъюнкции высказываний или переменных высказываний. Эти законы были определены математиком Августом Де Морганом..

Законы Моргана представляют собой очень полезный инструмент, чтобы продемонстрировать обоснованность математических рассуждений. Позже они были обобщены в рамках концепции множеств математиком Джорджем Булем.

Это обобщение, сделанное Булем, полностью эквивалентно начальным законам Моргана, но оно разработано специально для множеств, а не для предложений. Это обобщение также известно как законы Моргана.

индекс

  • 1 Обзор логики высказываний
    • 1.1 Ошибка
    • 1.2 Предложения
  • 2 закона Моргана
    • 2.1 Демонстрация
  • 3 комплекта
    • 3.1 Объединение, пересечение и дополнение множеств
  • 4 закона Моргана для множеств
  • 5 ссылок

Обзор логики высказываний

Прежде чем посмотреть, какие конкретно законы Моргана и как они используются, удобно вспомнить некоторые базовые понятия логики высказываний. (Более подробно см. Статью по логике высказываний).

В области математической (или пропозициональной) логики логический вывод - это вывод, который выводится из ряда предпосылок или гипотез. Этот вывод вместе с упомянутыми предпосылками приводит к так называемым математическим рассуждениям.

Это рассуждение должно быть в состоянии быть продемонстрировано или опровергнуто; то есть, что не все выводы или выводы в математических рассуждениях являются действительными.

ошибочность

Ложный вывод, основанный на определенных предположениях, которые считаются истинными, называется ошибкой. Ошибки имеют особенность того, что аргументы кажутся правильными, но математически они не.

Логика высказываний отвечает за точную разработку и предоставление методов, с помощью которых можно без какой-либо двусмысленности подтвердить или опровергнуть математические рассуждения; то есть, сделать правильный вывод из помещения. Эти методы известны как правила вывода, частью которых являются законы Моргана..

предложения

Существенными элементами логики высказываний являются высказывания. Предложения - это утверждения, о которых можно сказать, являются ли они действительными или нет, но что они не могут быть истинными или ложными одновременно. Не должно быть никакой двусмысленности в этом вопросе.

Так же, как числа могут быть объединены посредством операций сложения, вычитания, умножения и деления, предложения могут управляться с помощью известных логических соединительных (или коннекторов): отрицание (¬, «нет»), дизъюнкция (V , "O"), конъюнкция (Ʌ, "и"), условная (→, "if ..., then ...") и двухусловная (↔, "да и только если").

Чтобы работать более широко, вместо рассмотрения конкретных предложений, мы рассматриваем пропозициональные переменные, которые представляют любые предложения и обычно обозначаются строчными буквами p, q, r, s и т. Д..

Пропозициональная формула - это комбинация пропозициональных переменных через некоторые из логических связок. Другими словами, это композиция пропозициональных переменных. Они обычно обозначаются греческими буквами.

Говорят, что пропозициональная формула логически подразумевает другую, когда последняя верна каждый раз, когда первая верна. Это обозначается как:

Когда логическая импликация между двумя пропозициональными формулами является взаимной, то есть когда предыдущая импликация действительна и в противоположном направлении, формулы называются логически эквивалентными, и они обозначаются как

Логическая эквивалентность является своего рода равенством между пропозициональными формулами и позволяет при необходимости заменять одно на другое..

Законы Моргана

Законы Моргана состоят из двух логических эквивалентностей между двумя пропозициональными формами, а именно:

Эти законы позволяют отделить отрицание дизъюнкции или конъюнкции как отрицание вовлеченных переменных.

Первое можно прочитать следующим образом: отрицание дизъюнкции равно соединению отрицаний. И второе звучит так: отрицание соединения - это дизъюнкция отрицания.

Другими словами, отрицать дизъюнкцию двух пропозициональных переменных эквивалентно соединению отрицаний обеих переменных. Аналогичным образом, отрицать конъюнкцию двух пропозициональных переменных равносильно дизъюнкции отрицаний обеих переменных.

Как упоминалось ранее, замена этой логической эквивалентности помогает продемонстрировать важные результаты, наряду с другими существующими правилами вывода. С их помощью вы можете упростить многие пропозициональные формулы, чтобы они были более полезными для работы.

Ниже приведен пример математического доказательства с использованием правил вывода, среди этих законов Моргана. В частности, показано, что формула:

эквивалентно:

Последнее проще понять и развить.

шоу

Стоит отметить, что законность законов Моргана может быть продемонстрирована математически. Одним из способов является сравнение ваших таблиц истинности.

наборы

Те же правила вывода и понятия логики, применяемые к высказываниям, также могут быть разработаны с учетом множеств. Это то, что известно как булева алгебра, после математика Джорджа Буля.

Чтобы дифференцировать случаи, необходимо изменить обозначения и перенести в множества все понятия, уже виденные в логике высказываний..

Набор представляет собой набор объектов. Наборы обозначаются заглавными буквами A, B, C, X, ..., а элементы набора обозначаются строчными буквами a, b, c, x и т. Д. Когда элемент a принадлежит множеству X, он обозначается как:

Когда он не принадлежит X, обозначение:

Способ представления наборов - размещение их элементов внутри ключей. Например, набор натуральных чисел представлен:

Наборы также могут быть представлены без записи явного списка их элементов. Они могут быть выражены в виде :. Две точки читаются «так, что». Переменная, представляющая элементы набора, размещается слева от двух точек, а свойство или условие, которым они удовлетворяют, - справа. Это:

Например, набор целых чисел больше -4 может быть выражен как:

Или эквивалентно и более сокращенно, как:

Аналогично, следующие выражения представляют наборы четных и нечетных чисел соответственно:

Объединение, пересечение и дополнение множеств

Далее мы увидим аналоги логической связки в случае множеств, которые являются частью основных операций между множествами.

Союз и пересечение

Объединение и пересечение множеств определяются соответственно следующим образом:

Например, рассмотрим наборы:

Затем вы должны:

дополнение

Дополнение набора состоит из элементов, которые не принадлежат этому набору (того же типа, что и оригинал). Дополнение множества A обозначается как:

Например, в натуральных числах набор четных чисел является дополнением нечетных чисел, и наоборот.

Чтобы определить дополнение набора, необходимо с самого начала очистить универсальный или основной набор элементов, которые рассматриваются. Например, это не равно, чтобы рассмотреть дополнение набора на натуральных числах, что на рациональных.

В следующей таблице показано отношение или аналогия, которая существует между операциями над ранее определенными наборами и связующими из логики высказываний:

Законы Моргана для множеств

Наконец, законы Моргана о множествах таковы:

На словах: дополнение объединения - это пересечение дополнений, а дополнение пересечения - это объединение дополнений.

Математическое доказательство первого равенства будет следующим:

Демонстрация второго аналогична.

ссылки

  1. Альмагуер Г. (2002). Математика 1. Редакция Лимуса.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Логика, множества и числа. Мерида - Венесуэла: Издательский совет, Университет Лос-Андес.
  3. Баррантес Х., Диас П., Мурильо М. и Сото А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
  4. Кастанеда, С. (2016). Базовый курс по теории чисел. Университет Севера.
  5. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Как разработать математические логические рассуждения. Университет Редакция.
  6. Гевара, М. Х. (с.ф.). Теория чисел. EUNED.
  7. Сарагоса, A.C. (s.f.). Теория чисел. Редакция Vision Books.