История евклидовой геометрии, основные понятия и примеры

Евклидова геометрия соответствует изучению свойств геометрических пространств, где выполняются аксиомы Евклида. Хотя этот термин иногда используется для охвата геометрий, которые имеют превосходные размеры с аналогичными свойствами, он обычно является синонимом классической геометрии или плоской геометрии..

В третьем веке а. C. Евклид и его ученики написали элементы, работа, которая охватывала математические знания того времени, наделенные логико-дедуктивной структурой. С тех пор геометрия стала наукой, первоначально для решения классических проблем и превратилась в формирующую науку, которая помогает рассуждать.

индекс

• 1 История
• 2 Основные понятия
  • 2.1 Общие понятия
  • 2.2 Постулаты или аксиомы
• 3 примера
  • 3.1 Первый пример
  • 3.2 Второй пример
  • 3.3 Третий пример
• 4 Ссылки

история

Чтобы поговорить об истории евклидовой геометрии, необходимо начать с Евклида Александрийского и элементы.

Когда Египет был в руках Птолемея I, после смерти Александра Македонского он начал свой проект в школе в Александрии.

Среди мудрецов, преподававших в школе, был Евклид. Предполагается, что его рождение датируется примерно 325 годом. C. и его смерть 265 а. C. Мы можем с уверенностью знать, что он ходил в школу Платона.

Более тридцати лет Евклид преподавал в Александрии, выстраивая свои знаменитые элементы: он начал писать исчерпывающее описание математики своего времени. Учения Евклида породили отличных учеников, таких как Архимед и Аполлоний Пергский.

Евклид был ответственным за структурирование разрозненных открытий классических греков в элементы, но в отличие от своих предшественников он не ограничивается утверждением, что теорема верна; Евклид предлагает демонстрацию.

элементы Это сборник из тринадцати книг. После Библии это самая опубликованная книга с более чем тысячей изданий..

элементы является шедевром Евклида в области геометрии и предлагает определенную трактовку геометрии двух измерений (плоскости) и трех измерений (пространства), что является источником того, что мы теперь знаем как евклидову геометрию.

Основные понятия

Элементы состоят из определений, общих понятий и постулатов (или аксиом), за которыми следуют теоремы, конструкции и демонстрации..

- Дело в том, что нет частей.

- Линия - это длина, которая не имеет ширины.

- Прямая линия - это та, которая в равной степени лежит по отношению к.

- Если две линии обрезаются так, что смежные углы равны, углы называются прямыми, а линии называются перпендикулярами..

- Параллельные линии - это те, которые, будучи в одной плоскости, никогда не режутся.

После этих и других определений Евклид представляет список из пяти постулатов и пяти понятий.

Общие понятия

- Две вещи, которые равны трети, равны друг другу.

- Если равные вещи добавляются к одним и тем же вещам, результаты одинаковы.

- Если равные вещи вычитаются из одних и тех же вещей, результаты одинаковы.

- Вещи, которые соответствуют друг другу, равны друг другу.

- Итого больше чем часть.

Постулаты или аксиомы

- Для двух разных точек проходит одна и только одна линия.

- Прямые линии могут продолжаться бесконечно.

- Вы можете нарисовать круг с любым центром и любым радиусом.

- Все прямые углы одинаковы.

- Если прямая линия пересекает две прямые линии, так что внутренние углы одной и той же стороны составляют менее двух прямых углов, то две линии будут пересекаться на этой стороне.

Этот последний постулат известен как постулат параллелей и был переформулирован следующим образом: «Для точки вне линии вы можете провести одну параллель с данной линией».

примеров

Далее несколько теорем о элементы они будут служить для демонстрации свойств геометрических пространств, в которых выполняются пять постулатов Евклида; Кроме того, они будут иллюстрировать логико-дедуктивные рассуждения, используемые этим математиком.

Первый пример

Предложение 1.4. (LAL)

Если два треугольника имеют две стороны и угол между ними равен, то остальные стороны и остальные углы равны.

шоу

Пусть ABC и A'B'C '- два треугольника с AB = A'B', AC = A'C 'и углами BAC и B'A'C', равными. Переместитесь в треугольник A'B'C 'так, чтобы A'B' совпадал с AB, а угол B'A'C 'совпадал с углом BAC..

Тогда прямая A'C 'совпадает с прямой AC, так что C' совпадает с C. Тогда, согласно постулату 1, прямая BC должна совпадать с прямой B'C '. Поэтому два треугольника совпадают и, следовательно, их углы и стороны равны.

Второй пример

Предложение 1.5. (Понс Асинорум)

Если треугольник имеет две равные стороны, то углы, противоположные этим сторонам, равны.

шоу

Предположим, что треугольник ABC имеет равные стороны AB и AC.

Тогда треугольники ABD и ACD имеют две равные стороны и углы между ними равны. Таким образом, согласно предложению 1.4, углы ABD и ACD равны.

Третий пример

Предложение 1.31

Вы можете построить линию, параллельную линии, заданной данной точкой..

строительство

При заданной линии L и точке P рисуется прямая линия M, которая проходит через P и врезается в L. Затем прямая линия N рисуется P, которая врезается в L. Теперь мы проследим по P прямую N, которая врезается в M, образуя угол, равный тому, который L образует с М.

утверждение

N параллельно L.

шоу

Предположим, что L и N не параллельны и пересекаются в точке A. Пусть B - точка в L за A. Рассмотрим прямую O, проходящую через B и P. Затем O срезается до M, образуя углы, которые добавляют меньше две прямые.

Тогда на 1,5 линия O должна пересечь линию L с другой стороны от M, поэтому L и O пересекаются в двух точках, что противоречит постулату 1. Следовательно, L и N должны быть параллельны.

ссылки

1. Евклид. Элементы геометрии. Национальный автономный университет Мексики
2. Евклид. Первые шесть книг и одиннадцатый и двенадцатый элементы Евклида
3. Эухенио Филлой Яге. Дидактика и история евклидовой геометрии. Ибероамериканская редакционная группа
4. K.Ribnikov. История математики Мир Редакция
5. Viloria, N. & Leal, J. (2005) Плоская аналитическая геометрия. Venezuelan C.A Редакция.