Метод синтетического деления и решаемые упражнения



синтетическое подразделение это простой способ деления многочлена P (x) на любую из форм d (x) = x - c. Это очень полезный инструмент, поскольку, помимо того, что он позволяет нам делить многочлены, он также позволяет нам вычислять многочлен P (x) по любому числу c, что, в свою очередь, точно говорит нам, является ли это число нулем или нет многочлена.

Благодаря алгоритму деления мы знаем, что если у нас есть два полинома P (x) и д (х) не константа, есть многочлены q (x) и г (х) единственное, что верно, что P (x) = q (x) d (x) + r (x), где r (x) равно нулю или меньше q (x). Эти полиномы известны как частное и остаток или остаток соответственно.

В случаях, когда многочлен d (x) имеет форму x-c, синтетическое деление дает нам короткий способ определить, кто такие q (x) и r (x).

индекс

  • 1 метод синтетического деления
  • 2 упражнения решены
    • 2.1 Пример 1
    • 2.2 Пример 2
    • 2.3 Пример 3
    • 2.4 Пример 4
  • 3 Ссылки

Метод синтетического деления

Пусть P (x) = aNхN+вн-1хн-1+... +1х + а0 полином мы хотим разделить и d (x) = x-c делитель. Чтобы разделить методом синтетического деления, мы поступим следующим образом:

1- Запишем коэффициенты P (x) в первом ряду. Если какая-либо степень X не появляется, мы ставим ноль в качестве его коэффициента.

2- Во втором ряду слева отN разместите c и нарисуйте линии деления, как показано на следующем рисунке:

3- Опускаем ведущий коэффициент в третий ряд.

В этом выражении бн-1= аN

4- Умножаем с на ведущий коэффициент бн-1 и результат записывается во второй строке, но столбец справа.

5- Мы добавляем столбец, в который мы записали предыдущий результат, и результат, который мы поместили под эту сумму; то есть в том же столбце третья строка.

Добавляя, мы имеем в результатен-1+с * бн-1, который для удобства будем называть бн-2

6- Умножаем c на предыдущий результат и записываем результат справа во второй строке.

7. Повторим шаги 5 и 6, пока не достигнем коэффициента0.

8- написать ответ; то есть частное и остаток. Поскольку мы осуществляем деление многочлена степени n между многочленом степени 1, мы получаем, что серьезный фактор степени n-1.

Коэффициенты фактор-полинома будут номерами третьей строки, кроме последней, которая будет остаточным полиномом или остатком от деления..

Решенные упражнения

Пример 1

Выполните следующее деление методом синтетического деления:

(х5+3x4-7x3+2x2-8x + 1): (x + 1).

решение

Сначала мы запишем коэффициенты дивидендов следующим образом:

Затем мы пишем c на левой стороне, во втором ряду, вместе с линиями деления. В этом примере с = -1.

Мы понижаем ведущий коэффициент (в этом случае бн-1 = 1) и умножить его на -1:

Мы напишем ваш результат справа во втором ряду, как показано ниже:

Добавляем цифры во второй столбец:

Мы умножаем 2 на -1 и записываем результат в третий столбец второй строки:

Добавляем в третий столбец:

Мы продолжаем аналогично, пока не достигнем последнего столбца:

Таким образом, мы имеем, что последнее полученное число является остатком от деления, а оставшиеся числа являются коэффициентами фактор-полинома. Это написано следующим образом:

Если мы хотим убедиться в правильности результата, достаточно убедиться, что выполняется следующее уравнение:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Таким образом, мы можем убедиться, что полученный результат верен.

Пример 2

Выполните следующее деление полиномов методом синтетического деления

(7x3-х + 2): (х + 2)

решение

В этом случае у нас есть термин х2 он не появляется, поэтому мы напишем 0 как его коэффициент. Таким образом, полином будет как 7x3+0x2-х + 2.

Мы записываем их коэффициенты в ряд, это:

Мы записываем значение C = -2 слева во втором ряду и рисуем линии деления.

Мы понижаем ведущий коэффициент бн-1 = 7 и умножим его на -2, записав его результат во второй строке справа.

Мы добавляем и продолжаем, как объяснено ранее, пока не достигнем последнего срока:

В этом случае остаток равен r (x) = - 52, а полученное отношение равно q (x) = 7x.2-14x + 27.

Пример 3

Другой способ использования синтетического деления заключается в следующем: предположим, что у нас есть многочлен P (x) степени n, и мы хотим знать, каково значение при оценке его в x = c.

По алгоритму деления мы можем записать полином P (x) следующим образом:

В этом выражении q (x) и r (x) являются частными и остальные, соответственно. Теперь, если d (x) = x- c, при оценке в c в полиноме мы находим следующее:

Для этого нам нужно только найти r (x), и это мы можем сделать благодаря синтетическому делению.

Например, у нас есть многочлен P (x) = x7-9х6+19x5+12X4-3x3+19x2-37x-37, и мы хотим знать, каково его значение при оценке его в x = 5. Для этого мы выполняем деление между P (x) и d (x) = x -5 методом синтетического деления:

После выполнения операций мы знаем, что можем написать P (x) следующим образом:

P (x) = (x6-4x5 -х4+ 7x3 +32x2 +179х + 858) * (х-5) + 4253

Поэтому, оценивая его, мы должны:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Как мы видим, можно использовать синтетическое деление, чтобы найти значение многочлена при оценке его в c, вместо простой замены c на x. 

Если бы мы попытались оценить P (5) традиционным способом, нам потребовалось бы выполнить некоторые вычисления, которые становятся утомительными..

Пример 4

Алгоритм деления для многочленов также выполняется для многочленов с комплексными коэффициентами, и, как следствие, мы имеем, что синтетический метод деления также работает для указанных многочленов. Далее мы увидим пример.

Мы будем использовать метод синтетического деления, чтобы показать, что z = 1+ 2i является нулем многочлена P (x) = x3+ (1 + я) х2 -(1 + 2i) x + (15 + 5i); то есть остаток от деления P (x) между d (x) = x - z равен нулю.

Мы продолжаем, как и прежде: в первой строке записываем коэффициенты P (x), затем во второй записываем z и рисуем линии деления.

Мы сделали разделение, как и раньше; это:

Мы можем видеть, что вычет равен нулю; поэтому мы заключаем, что z = 1+ 2i является нулем P (x).

ссылки

  1. Балдор Аурелио. алгебра. Патрия Редакционная группа.
  2. Демана, Уэйтс, Фоли и Кеннеди. Предварительный расчет: график, числовой, алгебраический 7-е изд. Пирсон Образование.
  3. Флемминг В. и Варсерг Д. Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Прентис Холл
  4. Майкл Салливан. тригонометрия и алгебра 4-е изд. Пирсон Образование.
  5. Красный. Армандо О. Алгебра 1 6-е изд. Атенеум.