Распределения дискретных вероятностных характеристик и упражнений



Дискретные распределения вероятностей являются функцией, которая присваивает каждому элементу X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., где X - заданная дискретная случайная величина, а S - ее выборочное пространство, вероятность того, что указанное событие произойдет. Эта функция f из X (S), определенная как f (xi) = P (X = xi), иногда называется функцией вероятности массы.

Эта масса вероятностей обычно представляется в виде таблицы. Поскольку X является дискретной случайной величиной, X (S) имеет конечное число событий или счетную бесконечность. Среди наиболее распространенных дискретных распределений вероятностей мы имеем равномерное распределение, биномиальное распределение и распределение Пуассона.

индекс

  • 1 Характеристики
  • 2 типа
    • 2.1 Равномерное распределение по n точкам
    • 2.2 Биномиальное распределение
    • 2.3 Распределение Пуассона
    • 2.4 Гипергеометрическое распределение
  • 3 упражнения выполнены
    • 3.1 Первое упражнение
    • 3.2 Второе упражнение
    • 3.3 Третье упражнение
    • 3.4 Третье упражнение
  • 4 Ссылки

черты

Функция распределения вероятностей должна удовлетворять следующим условиям:

Кроме того, если X принимает только конечное число значений (например, x1, x2, ..., xn), то p (xi) = 0, если i> ny, следовательно, бесконечный ряд условия b становится конечная серия.

Эта функция также выполняет следующие свойства:

Пусть B будет событием, связанным со случайной величиной X. Это означает, что B содержится в X (S). В частности, предположим, что B = xi1, xi2, .... Поэтому:

Другими словами: вероятность события B равна сумме вероятностей отдельных результатов, связанных с B.

Из этого можно сделать вывод, что если < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

тип

Равномерное распределение по n точкам

Говорят, что случайная величина X следует распределению, которое характеризуется однородностью по n точкам, если каждому значению присваивается одинаковая вероятность. Его функция вероятности массы:

Предположим, у нас есть эксперимент, который имеет два возможных результата: это может быть подбрасывание монеты, чьи возможные результаты - лицо или печать, или выбор целого числа, результатом которого может быть четное число или нечетное число; этот тип эксперимента известен как тесты Бернулли.

В общем, два возможных результата называются успехом и неудачей, где p - это вероятность успеха, а 1-p - вероятность неудачи. Мы можем определить вероятность x успехов в n тестах Бернулли, которые не зависят друг от друга, с помощью следующего распределения.

Биномиальное распределение

Именно эта функция представляет вероятность получения x успехов в n независимых тестах Бернулли, вероятность успеха которых равна p. Его функция вероятности массы:

На следующем графике представлена ​​функция массы вероятности для разных значений параметров биномиального распределения.

Следующее распределение обязано своим именем французскому математику Симеону Пуассону (1781-1840), который получил его как предел биномиального распределения..

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина X имеет пуассоновское распределение параметра λ, когда она может принимать положительные целые значения 0,1,2,3, ... со следующей вероятностью:

В этом выражении λ - это среднее число, соответствующее возникновению события для каждой единицы времени, а x - это количество раз, когда событие происходит.

Его функция вероятности массы:

Далее приведен график, представляющий функцию вероятности массы для разных значений параметров распределения Пуассона.

Обратите внимание, что до тех пор, пока количество успехов невелико, а количество n тестов, выполненных в биномиальном распределении, велико, мы всегда можем аппроксимировать эти распределения, поскольку распределение Пуассона является пределом биномиального распределения..

Основное различие между этими двумя распределениями состоит в том, что, в то время как бином зависит от двух параметров, а именно, n и p, коэффициент Пуассона зависит только от λ, который иногда называют интенсивностью распределения.

До сих пор мы говорили только о распределении вероятностей для случаев, когда разные эксперименты не зависят друг от друга; то есть, когда на результат одного не влияет какой-то другой результат.

Когда происходит случай, когда эксперименты не являются независимыми, гипергеометрическое распределение очень полезно.

Гипергеометрическое распределение

Пусть N будет общим числом объектов конечного множества, из которых мы можем каким-то образом идентифицировать k из них, образуя подмножество K, дополнение которого образовано оставшимися N-k элементами.

Если мы случайным образом выберем n объектов, случайная величина X, которая представляет число объектов, принадлежащих K, на этих выборах имеет гипергеометрическое распределение параметров N, n и k. Его функция вероятности массы:

На следующем графике представлена ​​функция массы вероятности для разных значений параметров гипергеометрического распределения.

Решенные упражнения

Первое упражнение

Предположим, что вероятность того, что радиотрубка (включенная в оборудование определенного типа) работает более 500 часов, составляет 0,2. Если тестируется 20 пробирок, какова вероятность того, что ровно k из них будет работать более 500 часов, k = 0, 1,2, ..., 20?

решение

Если X - это число пробирок, которые работают более 500 часов, мы будем предполагать, что X имеет биномиальное распределение. то

И так:

Для k≥11 вероятности меньше 0,001

Таким образом, мы можем видеть, как вероятность того, что эти k работают более 500 часов, возрастает, пока не достигнет своего максимального значения (с k = 4), а затем начнет уменьшаться.

Второе упражнение

Монета брошена 6 раз. Когда результат будет дорогим, мы скажем, что это успех. Какова вероятность выхода двух лиц точно?

решение

Для этого случая имеем n = 6 и вероятность успеха и неудачи равна p = q = 1/2.

Следовательно, вероятность двух граней (т.е. k = 2)

Третье упражнение

Какова вероятность нахождения как минимум четырех лиц?

решение

Для этого случая имеем, что k = 4, 5 или 6

Третье упражнение

Предположим, что 2% изделий, произведенных на фабрике, имеют дефекты. Найти вероятность P, что в выборке из 100 предметов есть три дефектных элемента.

решение

Для этого случая мы могли бы применить биномиальное распределение для n = 100 и p = 0,02, получив в результате:

Однако, поскольку p мало, мы используем приближение Пуассона с λ = np = 2. так,

ссылки

  1. Кай Лай Чунг Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Розен Дискретная математика и ее приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. Inc. Мексиканская Альгамбра.
  4. Сеймур Липшуц к.т.н. 2000 Дискретная математика решенных задач. McGraw-Hill.
  5. Сеймур Липшуц к.т.н. Теория и проблемы вероятности. McGraw-Hill.