Преобразованное определение Лапласа, история, для чего оно, свойства

трансформируется из Лапласа В последние годы большое значение в исследованиях инженерии, математики, физики, а также в других научных областях, а также большой интерес к теоретическим вопросам, предоставляет простой способ решения проблем, возникающих в науке и технике..

Первоначально преобразование Лапласа было представлено Пьером-Саймоном Лапласом в его исследовании теории вероятностей и первоначально рассматривалось как математический объект, представляющий чисто теоретический интерес.

Современные приложения возникают, когда различные математики пытались дать формальное обоснование «эксплуатационным правилам», используемым Хевисайдом при изучении уравнений электромагнитной теории..

индекс

• 1 Определение
  • 1.1 Примеры
  • 1.2 Теорема (Достаточные условия существования)
  • 1.3 Преобразование Лапласа некоторых основных функций
• 2 История
  • 2.1 1782, Лаплас
  • 2.2 Оливер Хевисайд
• 3 свойства
  • 3.1 Линейность
  • 3.2 Первая теорема о переводе
  • 3.3 Вторая теорема о переводе
  • 3.4 Изменение масштаба
  • 3.5 Трансформация Лапласа производных
  • 3.6 Лапласово преобразование интегралов
  • 3.7 Умножение на тн
  • 3.8 Деление на т
  • 3.9 Периодические функции
  • 3.10 Поведение F (s), когда s стремится к бесконечности
• 4 Обратные преобразования
  • 4.1 Упражнение
• 5 приложений преобразования Лапласа
  • 5.1 Дифференциальные уравнения
  • 5.2 Системы дифференциальных уравнений
  • 5.3 Механика и электрические цепи
• 6 Ссылки

определение

Пусть f - функция, определенная для t ≥ 0. Преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Говорят, что преобразование Лапласа существует, если предыдущий интеграл сходится, иначе говорят, что преобразование Лапласа не существует.

В общем, для обозначения функции, которую нужно преобразовать, используются строчные буквы, а заглавная буква соответствует ее преобразованию. Таким образом, мы будем иметь:

примеров

Рассмотрим постоянную функцию f (t) = 1. Мы имеем ее преобразование:

Всякий раз, когда интеграл сходится, это всегда при условии, что s> 0. В противном случае, s < 0, la integral diverge.

Пусть g (t) = t. Ваше преобразование Лапласа дается

Интегрируя по частям и зная, что вы^-улица он стремится к 0, когда t стремится к бесконечности и s> 0, вместе с предыдущим примером мы имеем:

Преобразование может существовать или не существовать, например, для функции f (t) = 1 / t интеграл, определяющий его преобразование Лапласа, не сходится и, следовательно, его преобразование не существует..

Достаточные условия для гарантии того, что преобразование Лапласа функции f существует, состоит в том, что f непрерывна по частям при t ≥ 0 и имеет экспоненциальный порядок.

Говорят, что функция непрерывна по частям при t ≥ 0, когда для любого интервала [a, b] с a> 0 существует конечное число точек t_К, где f имеет разрывы и непрерывен в каждом подинтервале [t_K-1,T_К].

С другой стороны, говорят, что функция имеет экспоненциальный порядок c, если существуют действительные постоянные M> 0, c и T> 0, такие что:

В качестве примеров мы имеем, что f (t) = t² имеет экспоненциальный порядок, так как | t²| < e^3т для всех t> 0.

Формально мы имеем следующую теорему

Теорема (Достаточные условия существования)

Если f - непрерывная функция на часть для t> 0 и экспоненциального порядка c, то существует преобразование Лапласа для s> c.

Важно подчеркнуть, что это условие достаточности, то есть это может быть случай, когда существует функция, которая не удовлетворяет этим условиям, и даже тогда существует ее преобразование Лапласа..

Примером этого является функция f (t) = t^-1/2 который не является непрерывным по частям при t ≥ 0, но существует его преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа некоторых основных функций

В следующей таблице приведены преобразования Лапласа наиболее распространенных функций.

история

Преобразование Лапласа обязано своим именем Пьеру-Симону Лапласу, математику и французскому астроному-теоретику, который родился в 1749 году и умер в 1827 году. Его слава была такова, что он был известен как Ньютон Франции.

В 1744 году Леонард Эйлер посвятил свои исследования интегралам с формой

как решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но быстро отказались от этого исследования. Позже Джозеф Луи Лагранж, который очень восхищался Эйлером, также исследовал этот тип интегралов и связал их с теорией вероятностей..

1782, Лаплас

В 1782 году Лаплас начал изучать эти интегралы как решения дифференциальных уравнений, и, по мнению историков, в 1785 году он решил переформулировать проблему, которая позже породила преобразования Лапласа, как они понимаются сегодня..

Будучи введенным в области теории вероятностей, он не представлял большого интереса для ученых того времени и рассматривался только как математический объект, представляющий только теоретический интерес..

Оливер Хевисайд

В середине девятнадцатого века английский инженер Оливер Хевисайд обнаружил, что дифференциальные операторы можно рассматривать как алгебраические переменные, что дает их современное применение к преобразованиям Лапласа..

Оливер Хевисайд был английским физиком, инженером-электриком и математиком, который родился в 1850 году в Лондоне и умер в 1925 году. Пытаясь решать задачи дифференциальных уравнений, применяемых в теории вибраций и используя исследования Лапласа, он начал формировать современные применения преобразований Лапласа.

Результаты, представленные Хевисайдом, быстро распространились по всему научному сообществу того времени, но поскольку его работа не была строгой, его быстро раскритиковали более традиционные математики..

Однако полезность работы Хевисайда по решению уравнений физики сделала его методы популярными среди физиков и инженеров..

Несмотря на эти неудачи и после нескольких десятилетий неудачных попыток, в начале 20-го века можно было дать строгое обоснование эксплуатационным правилам, данным Хевисайдом..

Эти попытки окупились благодаря усилиям различных математиков, таких как Бромвич, Карсон, Ван дер Пол и другие..

свойства

Среди свойств преобразования Лапласа выделяются следующие:

линейность

Пусть c1 и c2 - постоянные и функции f (t) и g (t), преобразования Лапласа которых равны F (s) и G (s) соответственно, тогда мы должны:

В связи с этим свойством говорят, что преобразование Лапласа является линейным оператором.

пример

Первая теорема о переводе

Если это случится так:

А «а» - это любое действительное число, тогда:

пример

Поскольку преобразование Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:

Вторая переводная теорема

если

то

пример

Если f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И, следовательно, преобразование

это G (s) = 6e^-2s/ с ^ 4

Изменение масштаба

если

И «а» является ненулевым вещественным, мы должны

пример

Поскольку преобразование f (t) = sin (t) равно F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), оно должно быть

преобразование Лапласа производных

Если f, f ', f ", ..., f^(N) непрерывны при t ≥ 0 и имеют экспоненциальный порядок и f^(N)(t) непрерывно по частям при t ≥ 0, то

Преобразование Лапласа интегралов

если

то

Умножение на т^N

Если мы должны

то

Деление на т

Если мы должны

то

Периодические функции

Пусть f периодическая функция с периодом T> 0, то есть f (t + T) = f (t), тогда

Поведение F (s), когда s стремится к бесконечности

Если f непрерывно по частям и экспоненциального порядка и

то

Обратные преобразования

Когда мы применяем преобразование Лапласа к функции f (t), мы получаем F (s), который представляет это преобразование. Таким же образом мы можем сказать, что f (t) является обратным преобразованием Лапласа F (s) и записывается как

Мы знаем, что преобразования Лапласа для f (t) = 1 и g (t) = t равны F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s² соответственно, поэтому мы должны

Некоторые общие обратные преобразования Лапласа следующие

Кроме того, обратное преобразование Лапласа является линейным, то есть выполняется

осуществление

найти

Чтобы решить это упражнение, мы должны сопоставить функцию F (s) с одной из предыдущих таблиц. В этом случае, если мы берем n + 1 = 5 и используем свойство линейности обратного преобразования, мы умножаем и делим на 4! получение

Для второго обратного преобразования мы применяем частичные дроби, чтобы переписать функцию F (s), а затем свойство линейности, получая

Как мы видим из этих примеров, общепринято, что оцениваемая функция F (s) не совсем совпадает ни с одной из функций, приведенных в таблице. Для этих случаев, как это наблюдается, достаточно переписать функцию до достижения соответствующей формы.

Применение преобразования Лапласа

Дифференциальные уравнения

Основное применение преобразований Лапласа - решение дифференциальных уравнений..

Используя свойство преобразования производной ясно, что

И из n-1 производных, оцененных при t = 0.

Это свойство делает преобразование очень полезным для решения начальных задач, в которых используются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами..

Следующие примеры показывают, как использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений.

Пример 1

Учитывая следующую начальную задачу

Используйте преобразование Лапласа, чтобы найти решение.

Мы применяем преобразование Лапласа к каждому члену дифференциального уравнения

Для свойства преобразования производной имеем

Развивая все выражения и убирая А (и), мы остаемся

Используя частичные дроби, чтобы переписать правую часть уравнения, мы получим

Наконец, наша цель - найти функцию y (t), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению. Использование обратного преобразования Лапласа дает нам результат

Пример 2

решить

Как и в предыдущем случае, мы применяем преобразование с обеих сторон уравнения и разделяем член на член.

Таким образом, мы имеем в результате

Подстановка с заданными начальными значениями и очистка Y (s)

Используя простые дроби, мы можем переписать уравнение следующим образом

И применение обратного преобразования Лапласа дает нам в результате

В этих примерах можно прийти к неверному выводу, что этот метод не намного лучше традиционных методов решения дифференциальных уравнений..

Преимущества, предлагаемые преобразованием Лапласа, заключаются в том, что нет необходимости использовать изменение параметров или беспокоиться о различных случаях метода неопределенных коэффициентов.

Помимо решения задач начального значения этим методом, с самого начала мы используем начальные условия, поэтому нет необходимости выполнять другие расчеты, чтобы найти конкретное решение..

Системы дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа также можно использовать для поиска решений одновременных обыкновенных дифференциальных уравнений, как показано в следующем примере..

пример

решить

При начальных условиях x (0) = 8 e и (0) = 3.

Если мы должны

то

Разрешение результатов в нас

И при применении обратного преобразования Лапласа мы имеем

Механика и электрические цепи

Преобразование Лапласа имеет большое значение в физике, в основном имеет применение для механических и электрических цепей.

Простая электрическая схема состоит из следующих элементов

Переключатель, батарея или источник, индуктор, резистор и конденсатор. Когда переключатель замкнут, вырабатывается электрический ток, который обозначается как i (t). Заряд конденсатора обозначается через q (t).

По второму закону Кирхгофа напряжение, создаваемое источником E для замкнутой цепи, должно быть равно сумме каждого падения напряжения.

Электрический ток i (t) связан с зарядом q (t) в конденсаторе как i = dq / dt. С другой стороны, падение напряжения определяется в каждом из элементов следующим образом:

Падение напряжения на резисторе равно iR = R (дк / дт)

Падение напряжения в индуктивности составляет L (di / dt) = L (d²д / д²)

Падение напряжения в конденсаторе составляет q / C

С этими данными и применением второго закона Кирхгофа к замкнутой простой схеме получается дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает систему и позволяет нам определить значение q (t)..

пример

Индуктор, конденсатор и резистор подключены к батарее E, как показано на рисунке. Индуктор имеет 2 Генри, конденсатор 0,02 Фарад и сопротивление 16 Ом. В момент времени t = 0 цепь замкнута. Найти нагрузку и ток в любой момент времени t> 0, если E = 300 вольт.

У нас есть то, что дифференциальное уравнение, которое описывает эту схему, является следующим

Если начальные условия q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Применяя преобразование Лапласа, мы получаем, что

И очистка Q (т)

Затем, применяя обратное преобразование Лапласа, мы имеем

ссылки

1. Дж. Холбрук, Дж. (1987). Преобразование Лапласа для инженеров-электронщиков. Limusa.
2. Руис, Л. М. и Эрнандес, М. П. (2006). Дифференциальные уравнения и преобразование Лапласа с приложениями. Редакция УПВ.
3. Симмонс, Г. Ф. (1993). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими заметками. McGraw-Hill.
4. Spiegel, M.R. (1991). Преобразование Лапласа. McGraw-Hill.
5. Zill, D.G. & Cullen, M.R. (2008). Дифференциальные уравнения с проблемами значений на границе. Cengage Learning Editores, S.A..