Состав, типы и примеры изометрических преобразований



Изометрические преобразования это изменения положения или ориентации определенной фигуры, которые не меняют ни форму, ни размер. Эти преобразования делятся на три типа: перемещение, вращение и отражение (изометрия). В целом, геометрические преобразования позволяют создать новую фигуру из другого.

Превращение в геометрическую фигуру означает, что в некотором роде она подверглась некоторым изменениям; то есть, что это было изменено. Согласно смыслу оригинала и тому подобному на плоскости, геометрические преобразования можно разделить на три типа: изометрические, изоморфные и анаморфные..

индекс

  • 1 Характеристики
  • 2 типа
    • 2.1 переводом
    • 2.2 Вращением
    • 2.3 Отражением или симметрией
  • 3 Композиция
    • 3.1 Состав перевода
    • 3.2 Состав вращения
    • 3.3 Состав симметрии
  • 4 Ссылки

черты

Изометрические преобразования происходят, когда величины сегментов и углы между исходной и преобразованной фигурами сохраняются.

В этом типе преобразования ни форма, ни размер фигуры не изменяются (они являются конгруэнтными), это всего лишь изменение положения фигуры, либо в ориентации, либо в направлении. Таким образом, начальные и конечные цифры будут одинаковыми и геометрически конгруэнтными.

Изометрия относится к равенству; то есть геометрические фигуры будут изометрическими, если они имеют одинаковую форму и размер.

В изометрических преобразованиях единственное, что можно наблюдать - это изменение положения в плоскости, происходит жесткое движение, благодаря которому фигура переходит из исходного положения в конечное положение. Эта фигура называется гомологичной (похожей) оригинала.

Существует три типа движений, которые классифицируют изометрическое преобразование: перемещение, вращение и отражение или симметрия..

тип

Переводом

Это те изометрии, которые позволяют перемещать по прямой линии все точки плоскости в заданном направлении и на расстоянии.

Когда фигура трансформируется переводом, она не меняет своей ориентации по отношению к исходному положению и не теряет своих внутренних мер, мер своих углов и сторон. Этот тип смещения определяется тремя параметрами:

- Адрес, который может быть горизонтальным, вертикальным или наклонным.

- Ощущение, которое может быть слева, справа, вверх или вниз.

- Расстояние или величина, которая является длиной от начальной позиции до конца любой точки, которая движется.

Чтобы изометрическое преобразование по переводу было выполнено, оно должно удовлетворять следующим условиям:

- Фигура должна всегда сохранять все свои размеры, как линейные, так и угловые.

- Фигура не меняет своего положения относительно горизонтальной оси; то есть его угол никогда не меняется.

- Переводы всегда будут объединены в один, независимо от количества выполненных переводов..

В плоскости, где центром является точка O, с координатами (0,0), сдвиг определяется вектором T (a, b), который указывает смещение начальной точки. То есть:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Например, если трансляция T (-4, 7) применяется к координатной точке P (8, -2), мы получаем:

P (8, -2) + T (-4,7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

На следующем изображении (слева) видно, как точка C двигалась так, чтобы совпасть с точкой D. Она делала это в вертикальном направлении, направление было вверх, а расстояние или величина CD составляла 8 метров. На правом изображении наблюдается перевод треугольника:

Вращением

Это те изометрии, которые позволяют фигуре вращать все точки плоскости. Каждая точка вращается по дуге, которая имеет постоянный угол и определенную фиксированную точку (центр вращения).

То есть все вращение будет определяться его центром вращения и углом поворота. Когда фигура трансформируется вращением, она сохраняет меру своих углов и сторон.

Вращение происходит в определенном направлении, положительно, когда вращение против часовой стрелки (в отличие от того, как вращаются стрелки часов), и отрицательно, когда вращение происходит по часовой стрелке..

Если точка (x, y) повернута относительно начала координат, то есть ее центр вращения равен (0,0), под углом 90или до 360или Координаты точек будут:

В случае, когда вращение не имеет центра в начале координат, начало координат системы координат должно быть перенесено в новое заданное начало координат, чтобы иметь возможность вращать фигуру, имеющую в качестве центра начало координат..

Например, если точке P (-5.2) дан поворот на 90или, вокруг начала координат и в положительном смысле его новые координаты будут (-2,5).

Отражением или симметрией

Это те преобразования, которые инвертируют точки и фигуры плоскости. Эта инвестиция может быть относительно точки или прямой линии..

Другими словами, в этом типе преобразования каждая точка исходного рисунка связана с другой точкой (изображением) гомологичного рисунка таким образом, что точка и ее изображение находятся на одинаковом расстоянии от линии, называемой осью симметрии..

Таким образом, левая часть рисунка будет отражением правой части, без изменения ее формы или размеров. Симметрия превращает одну фигуру в другую, хотя и в противоположном направлении, как можно видеть на следующем изображении:

Симметрия присутствует во многих аспектах, как у некоторых растений (подсолнухи), животных (павлин) и природных явлений (снежинки). Человек отражает это на своем лице, которое считается фактором красоты. Отражение или симметрия могут быть двух типов:

Центральная симметрия

Это то преобразование, которое происходит относительно точки, в которой фигура может изменить свою ориентацию. Каждая точка исходного рисунка и его изображение находятся на одинаковом расстоянии от точки O, называемой центром симметрии. Симметрия является центральной, когда:

- И точка, и ее изображение, и центр принадлежат одной и той же линии.

- С вращением 180или центр O вы получите фигуру, равную оригиналу.

- Штрихи исходного рисунка параллельны штрихам сформированного рисунка..

- Смысл фигуры не меняется, она всегда будет по часовой стрелке.

Это преобразование происходит относительно оси симметрии, где каждая точка исходного рисунка связана с другой точкой изображения, и они находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии. Симметрия осевая, когда:

- Отрезок, соединяющий точку с ее изображением, перпендикулярен ее оси симметрии.

- Цифры меняют направление относительно поворота или по часовой стрелке.

- При разделении фигуры центральной линией (ось симметрии) одна из получающихся половин полностью совпадает с другой из половин..

состав

Композиция изометрических преобразований относится к последовательному применению изометрических преобразований на одной фигуре..

Композиция перевода

Композиция двух переводов приводит к другому переводу. Когда это сделано на плоскости, на горизонтальной оси (x) изменяются только координаты этой оси, в то время как координаты вертикальной оси (y) остаются неизменными, и наоборот.

Композиция вращения

Композиция двух витков с одинаковым центром приводит к другому витку, который имеет тот же центр и амплитуда которого будет суммой амплитуд двух витков.

Если центр поворотов имеет другой центр, разрезом биссектрисы двух отрезков одинаковых точек будет центр разворота.

Композиция симметрии

В этом случае состав будет зависеть от того, как он применяется:

- Если одна и та же симметрия применяется дважды, результатом будет тождество.

- Если две симметрии применяются к двум параллельным осям, результатом будет сдвиг, а его смещение будет вдвое больше расстояния этих осей:

- Если две симметрии применены относительно двух осей, вырезанных в точке O (центр), будет получено вращение с центром в точке O, и его угол будет в два раза больше угла, образованного осями:

ссылки

  1. V Burgués, J.F. (1988). Материалы для построения геометрии. Мадрид: синтез.
  2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Технический чертеж II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Коксетер Х. (1971). Основы геометрии Мексика: Лимуса-Вили.
  4. Коксфорд А. (1971). Геометрия A Трансформационный подход. США: Братья Лэйдлоу.
  5. Liliana Siñeriz, R.S. (2005). Индукция и формализация в преподавании жестких преобразований в среде CABRI.
  6. , П.Дж. (1996). Группа плоских изометрий. Мадрид: синтез.
  7. Суарес, А. С. (2010). Преобразования в плоскости. Гурабо, Пуэрто-Рико: AMCT .