Кто такие родственники? Характеристики и примеры



Это называется родственники (coprimos или двоюродные братья по отношению друг к другу) к любой паре целых чисел, которые не имеют общего делителя, кроме 1.

Другими словами, два целых числа являются относительными двоюродными братьями, если в их разложениях в простые числа они не имеют общего множителя.

Например, если выбраны 4 и 25, разложение по главному коэффициенту каждого составляет 2² и 5² соответственно. Понятно, что они не имеют какого-либо общего фактора, поэтому 4 и 25 являются родственниками.

С другой стороны, если выбраны 6 и 24, при выполнении их разложений в простые множители мы получим, что 6 = 2 * 3 и 24 = 2³ * 3.

Как видите, эти два последних выражения имеют как минимум один общий фактор, поэтому они не являются относительными простыми числами..

Родственники

Следует быть осторожным с тем, чтобы сказать, что пара целых чисел является относительными простыми числами, это то, что это не означает, что любое из них является простым числом.

С другой стороны, приведенное выше определение можно обобщить следующим образом: два целых числа «a» и «b» являются относительными простыми числами, если и только если наибольший общий делитель из них равен 1, то есть mcd ( а, б) = 1.

Два немедленных вывода этого определения таковы:

-Если «a» (или «b») - простое число, то mcd (a, b) = 1.

-Если «a» и «b» являются простыми числами, то mcd (a, b) = 1.

То есть, если хотя бы одно из выбранных чисел является простым числом, то непосредственно пары чисел являются относительными простыми числами..

Другие особенности

Другие результаты, которые используются, чтобы определить, являются ли два числа относительными простыми числами:

-Если два целых числа подряд, то это родственники.

-Два натуральных числа «a» и «b» являются относительными простыми числами, если и только если числа «(2 ^ a) -1» и «(2 ^ b) -1» являются относительными простыми числами.

-Два целых числа «a» и «b» являются относительными простыми числами тогда и только тогда, когда наносят на график точку (a, b) в декартовой плоскости и строят линию, которая проходит через начало координат (0,0) и (a , б), это не содержит точек с целыми координатами.

примеров

1.- Рассмотрим целые числа 5 и 12. Разложения в простые множители обоих чисел: 5 и 2² * 3 соответственно. В заключение, gcd (5,12) = 1, поэтому 5 и 12 являются относительными простыми числами.

2.- Пусть числа -4 и 6. Тогда -4 = -2² и 6 = 2 * 3, так что ЖК-дисплей (-4,6) = 2 ≠ 1. В заключении -4 и 6 не родственники.

Если мы перейдем к построению графика линии, проходящей через упорядоченные пары (-4.6) и (0.0), и определим уравнение этой линии, мы сможем убедиться, что она проходит через точку (-2.3).

Снова делается вывод, что -4 и 6 не родственники.

3.- Числа 7 и 44 являются относительными простыми числами и могут быть быстро заключены благодаря вышесказанному, так как 7 - простое число.

4.- Рассмотрим числа 345 и 346. Будучи двумя последовательными числами, проверяется, что mcd (345,346) = 1, поэтому 345 и 346 являются относительными простыми числами..

5.- Если считать числа 147 и 74, то это относительные родственники, поскольку 147 = 3 * 7² и 74 = 2 * 37, поэтому gcd (147.74) = 1.

6.- Числа 4 и 9 являются относительными простыми числами. Чтобы продемонстрировать это, можно использовать вторую упомянутую выше характеристику. Фактически 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 и 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Полученные числа равны 15 и 511. Разложение по основным коэффициентам этих чисел составляет 3 * 5 и 7 * 73 соответственно, так что mcd (15,511) = 1.

Как видите, использование второй характеристики является более длительной и более трудоемкой задачей, чем ее прямая проверка..

7.- Рассмотрим числа -22 и -27. Затем эти цифры можно переписать следующим образом: -22 = -2 * 11 и -27 = -3³. Следовательно, gcd (-22, -27) = 1, поэтому -22 и -27 являются относительными простыми числами..

ссылки

  1. Баррантес Х., Диас П., Мурильо М. и Сото А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
  2. Бурдон, П. Л. (1843). Арифметические элементы. Книжный магазин лордов и детей сыновей Каллеи.
  3. Кастанеда, С. (2016). Базовый курс по теории чисел. Университет Севера.
  4. Гевара, М. Х. (с.ф.). Набор целых чисел. EUNED.
  5. Высший институт педагогической подготовки (Испания), J.L. (2004). Числа, формы и объемы в детской среде. Министерство образования.
  6. Palmer, C.I. & Bibb, S.F. (1979). Практическая математика: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правила скольжения (перепечатка ред.). Реверте.
  7. Рок, Н. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). алгебра. Пирсон Образование.
  9. Сечей Д. (2006). Основы математики и предалгебры (иллюстрированный ред.). Карьера Пресс.
  10. Toral, C. & Preciado, M. (1985). 2-й курс математики. Редакция Прогресо.
  11. Вагнер Г., Кайседо А. и Колорадо Х. (2010). Основные принципы арифметики. ELIZCOM S.A.S.