Свойства продукта, приложения и решенные упражнения



Кросс-продукт или вектор продукта Это способ умножить два или более векторов. Существует три способа умножения векторов, но ни один из них не является умножением в обычном смысле этого слова. Одна из этих форм известна как векторное произведение, в результате чего получается третий вектор.

Векторное произведение, которое также называется перекрестным произведением или внешним произведением, обладает различными алгебраическими и геометрическими свойствами. Эти свойства очень полезны, особенно при изучении физики.

индекс

  • 1 Определение
  • 2 свойства
    • 2.1 Свойство 1
    • 2.2 Свойство 2
    • 2.3 Свойство 3
    • 2.4 Свойство 4 (тройное скалярное произведение)
    • 2.5 Свойство 5 (произведение трех векторов)
    • 2.6 Свойство 6
    • 2.7 Недвижимость 7
    • 2.8 Недвижимость 8
  • 3 Приложения
    • 3.1 Расчет объема параллелепипеда
  • 4 упражнения выполнены
    • 4.1 Упражнение 1
    • 4.2 Упражнение 2
  • 5 ссылок

определение

Формальное определение векторного произведения следующее: если A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3) являются векторами, то векторное произведение A и B, которое мы обозначим как AxB, будет:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Из-за обозначения AxB он читается как «крестик B».

Пример использования внешнего произведения состоит в том, что если A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4) являются векторами, то, используя определение векторного произведения, мы имеем:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Другой способ выразить векторное произведение дается определением определителей.

Расчет детерминанта второго порядка дается как:

Следовательно, формула векторного произведения, приведенная в определении, может быть переписана следующим образом:

Это обычно упрощается в определителе третьего порядка следующим образом:

Где i, j, k представляют векторы, которые составляют основу R3.

Используя этот способ выражения перекрестного произведения, мы получаем, что предыдущий пример можно переписать так:

свойства

Вот некоторые свойства, которыми обладает векторное произведение:

Недвижимость 1

Если A - любой вектор из R3, Мы должны:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Эти свойства легко проверить, используя только определение. Если A = (a1, a2, a3), мы должны:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

X0 = (a2 * 0 - * 0 a3, a3 * 0 - * 0 a1, a1 * 0 - а2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Если i, j, k представляют единичный базис R3, Мы можем написать их следующим образом:

я = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Затем мы должны выполнить следующие свойства:

Как правило, для запоминания этих свойств обычно используется следующий круг:

Там следует отметить, что любой вектор сам по себе приводит к вектору 0, а остальные произведения можно получить по следующему правилу:

Перекрестное произведение двух последовательных векторов в направлении по часовой стрелке дает следующий вектор; и при рассмотрении направления против часовой стрелки получается следующий вектор с отрицательным знаком.

Благодаря этим свойствам мы видим, что векторное произведение не коммутативно; например, достаточно заметить, что i x j ≠ j x i. Следующее свойство говорит нам, как AxB и BxA связаны в целом.

Недвижимость 2

Если A и B являются векторами R3, Мы должны:

AxB = - (BxA).

шоу

Если A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), по определению внешнего произведения имеем:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Мы также можем заметить, что этот продукт не связан со следующим примером:

ix (ixj) = ixk = - j, но (ixi) xj = 0xj = 0

Из этого мы можем наблюдать, что:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Недвижимость 3

Если A, B, C являются векторами R3 и r - действительное число, верно следующее:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Благодаря этим свойствам мы можем вычислить векторное произведение, используя законы алгебры, при условии соблюдения порядка. Например:

Если A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4), мы можем переписать их на основе канонического базиса R3.

Таким образом, A = i + 2j + 3k и B = 3i - 2j + 4k. Затем, применяя предыдущие свойства:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Свойство 4 (тройное скалярное произведение)

Как мы упоминали в начале, существуют и другие способы умножения векторов, помимо векторного произведения. Одним из таких способов является скалярное произведение или внутренний продукт, который обозначается как A ∙ B и определение которого:

Если A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), то A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Свойство, связывающее оба продукта, известно как тройное скалярное произведение.

Если A, B и C являются векторами R3, тогда A ∙ BxC = AxB ∙ C

В качестве примера, давайте посмотрим, что, учитывая A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), это свойство выполняется.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

С другой стороны:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Другим тройным продуктом является Ax (BxC), который известен как тройной векторный продукт.

Свойство 5 (произведение трех векторов)

Если A, B и C являются векторами R3,  то:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

В качестве примера, давайте посмотрим, что, учитывая A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), это свойство выполняется.

Из предыдущего примера мы знаем, что BxC = (- 18, - 22, 17). Давайте вычислим Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

С другой стороны, мы должны:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Итак, мы должны:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Свойство 6

Это одно из геометрических свойств векторов. Если A и B два вектора в R3 и Θ - угол, который образуется между ними, тогда:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), где || ∙ || обозначает модуль или величину вектора.

Геометрическая интерпретация этого свойства заключается в следующем:

Пусть A = PR и B = PQ. Тогда угол, образованный векторами A и B, является углом P треугольника RQP, как показано на следующем рисунке..

Следовательно, площадь параллелограмма со смежными сторонами PR и PQ равна || A |||| B || sin (Θ), поскольку мы можем взять за основу || A || и его высота задается как || B || sin (Θ).

Из-за этого мы можем сделать вывод, что || AxB || площадь указанного параллелограмма.

пример

Учитывая следующие вершины четырехугольника P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) и S (5,7, -3), показывают, что указанный четырехугольник это параллелограмм и найди его площадь.

Для этого сначала определим векторы, определяющие направление сторон четырехугольника. Это:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Как мы можем наблюдать, A и C имеют одинаковый вектор-директор, для которого мы имеем, что оба параллельны; так же, как это происходит с B и D. Поэтому мы заключаем, что PQRS является параллелограммом.

Чтобы получить площадь указанного параллелограмма, мы вычисляем BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Следовательно, площадь квадрата будет:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Можно сделать вывод, что площадь параллелограмма будет квадратным корнем из 89.

Недвижимость 7

Два вектора A и B параллельны в R3 да и только если AxB = 0

шоу

Ясно, что если A или B являются нулевым вектором, то AxB = 0. Поскольку нулевой вектор параллелен любому другому вектору, свойство верно.

Если ни один из двух векторов не является нулевым вектором, мы имеем, что их величины отличаются от нуля; то есть оба || A || ≠ 0 при || B || ≠ 0, поэтому нам придется || AxB || = 0 тогда и только тогда, когда sin (Θ) = 0, и это происходит тогда и только тогда, когда Θ = π или Θ = 0.

Следовательно, мы можем заключить AxB = 0 тогда и только тогда, когда Θ = π или Θ = 0, что происходит только тогда, когда оба вектора параллельны друг другу..

Недвижимость 8

Если A и B два вектора в R3, тогда AxB перпендикулярен как A, так и B.

шоу

Для этой демонстрации помните, что два вектора перпендикулярны, если A ∙ B равно нулю. Кроме того, мы знаем, что:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, но AxA равно 0. Поэтому мы должны:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Из этого можно сделать вывод, что A и AxB перпендикулярны друг другу. Аналогичным образом, мы должны:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Поскольку BxB = 0, мы должны:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Следовательно, AxB и B перпендикулярны друг другу, и это демонстрирует это свойство. Это очень полезно, так как они позволяют нам определить уравнение плоскости.

Пример 1

Получить уравнение плоскости, проходящей через точки P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) и R (2, 1, 3).

Пусть A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) и B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Тогда A = - i + 3j + k и B = i - 2j + k. Чтобы найти плоскость, образованную этими тремя точками, достаточно найти вектор, нормальный к плоскости, то есть AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

С этим вектором и взяв точку P (1, 3, 2), мы можем определить уравнение плоскости следующим образом:

(5, 2, -1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Итак, имеем уравнение плоскости 5x + 2y - z - 9 = 0.

Пример 2

Найти уравнение плоскости, которая содержит точку P (4, 0, - 2) и которая перпендикулярна каждой из плоскостей x - y + z = 0 и 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Зная, что вектор нормали к плоскости ax + by + cz + d = 0 равен (a, b, c), мы получаем, что (1, -1,1) является нормальным вектором x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) нормальный вектор 2x + y - 4z - 5 = 0.

Поэтому вектор нормали к искомой плоскости должен быть перпендикулярен (1, -1,1) и a (2, 1, - 4). Указанный вектор:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Тогда мы получаем, что искомая плоскость - это та, которая содержит точку P (4,0, - 2) и имеет вектор (3,6,3) в качестве нормального вектора..

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

приложений

Расчет объема параллелепипеда

Приложение, которое имеет тройное скалярное произведение, должно иметь возможность вычислить объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами A, B и C, как показано на рисунке:

Мы можем вывести это приложение следующим образом: как мы уже говорили ранее, вектор AxB - это вектор, нормальный к плоскости A и B. У нас также есть вектор - (AxB) - еще один вектор, нормальный к указанной плоскости..

Мы выбираем вектор нормали, который образует наименьший угол с вектором C; без ограничения общности, пусть AxB будет вектором, угол которого с C наименьшим.

У нас есть, что AxB и C имеют одинаковую отправную точку. Кроме того, мы знаем, что площадь параллелограмма, которая составляет основу параллелепипеда, равна || AxB ||. Поэтому, если высота параллелепипеда задана h, мы имеем, что его объем будет:

V = || AxB || ч.

С другой стороны, рассмотрим скалярное произведение между AxB и C, которое можно описать следующим образом:

Однако по тригонометрическим свойствам мы имеем h = || C || cos (Θ), поэтому мы должны:

Таким образом, мы должны:

В общих чертах имеем, что объем параллелепипеда задается абсолютным значением тройного скалярного произведения AxB ∙ C.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Учитывая точки P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) и S = ​​(2, 6, 9), эти точки образуют параллелепипед, ребра которого они PQ, PR и PS. Определить объем указанного параллелепипеда.

решение

Если мы возьмем:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Используя свойство тройного скалярного произведения, мы должны:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 52.

Упражнение 2

Определить объем параллелепипеда, ребра которого определяются как A = PQ, B = PR и C = PS, где точки P, Q, R и S равны (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) и (2, 2, 5) соответственно.

решение

Сначала мы имеем, что A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Рассчитаем AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Затем рассчитаем AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Таким образом, мы заключаем, что объем указанного параллелепипеда составляет 1 кубическую единицу..

ссылки

  1. Leithold, L. (1992). РАСЧЕТ с аналитической геометрией. HARLA, S.A.
  2. Резник Р., Холлидей Д. и Крейн К. (2001). Физика Том 1. Мексика: континентальный.
  3. Saenz, J. (s.f.). Векторный расчет 1ed. гипотенуза.
  4. Spiegel, M.R. (2011). Векторный анализ 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D.G. & Wright, W. (2011). Расчет различных переменных 4ed. Mc Graw Hill.