Характеристики параллелепипеда, типы, площадь, объем

параллелепипед представляет собой геометрическое тело, образованное шестью гранями, основной характеристикой которого является то, что все их грани являются параллелограммами, а также их противоположные грани параллельны друг другу. Это обычный многогранник в нашей повседневной жизни, так как мы можем найти его в обувных коробках, в форме кирпича, в форме микроволновой печи и т. Д..

Будучи многогранником, параллелепипед заключает в себе конечный объем и все его грани плоские. Он входит в группу призм, которые представляют собой те многогранники, в которых все их вершины содержатся в двух параллельных плоскостях..

индекс

• 1 Элементы параллелепипеда
  • 1.1 Лица
  • 1.2 Края
  • 1.3 Вершина
  • 1.4 Диагональ
  • 1.5 Центр
• 2 Характеристики параллелепипеда
• 3 типа
  • 3.1 Расчет диагоналей
• 4 Площадь
  • 4.1 Площадь ортоэдра
  • 4.2 Площадь куба
  • 4.3 Площадь ромбоэдра
  • 4.4 Площадь ромба
• 5 Объем параллелепипеда
  • 5.1 Идеальный параллелепипед
• 6 Библиография

Элементы параллелепипеда

Карас

Они являются каждой из областей, образованных параллелограммами, которые ограничивают параллелепипед. Параллелепипед имеет шесть граней, где каждая грань имеет четыре смежные грани и одну противоположную. Кроме того, каждая сторона параллельна своей противоположной.

ость

Они общая сторона двух лиц. Всего параллелепипед имеет двенадцать ребер.

вершина

Это общая точка трех граней, примыкающих друг к другу два к двум. Параллелепипед имеет восемь вершин.

диагональный

Учитывая две противоположные стороны параллелепипеда, мы можем нарисовать отрезок прямой, который идет от вершины одной грани к противоположной вершине другой.

Этот отрезок известен как диагональ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

центр

Это точка, в которой все диагонали пересекаются.

Характеристики параллелепипеда

Как мы уже упоминали, это геометрическое тело имеет двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин.

В параллелепипеде вы можете идентифицировать три набора, образованные четырьмя ребрами, которые параллельны друг другу. Кроме того, края этих наборов также имеют свойство иметь одинаковую длину.

Другое свойство, которым обладают параллелепипеды, состоит в том, что они являются выпуклыми, то есть, если мы возьмем любую пару точек, принадлежащих внутренней части параллелепипеда, отрезок, определяемый указанной парой точек, также будет находиться внутри параллелепипеда..

Кроме того, параллелепипеды, являющиеся выпуклыми многогранниками, соответствуют теореме Эйлера для многогранников, которая дает нам взаимосвязь между числом граней, числом ребер и числом вершин. Это соотношение задается в форме следующего уравнения:

C + V = A + 2

Эта особенность известна как характеристика Эйлера.

Где C - количество граней, V - количество вершин и A - количество ребер..

тип

Мы можем классифицировать параллелепипеды по их граням по следующим типам:

кубоид

Это параллелепипеды, лица которых образованы шестью прямоугольниками. Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, что имеет общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, так как это обычный способ обувных коробок и кирпичей..

Куб или правильный шестигранник

Это частный случай предыдущего, где каждая из граней является квадратом.

Куб также является частью геометрических тел, называемых платоновыми телами. Платоническое тело представляет собой выпуклый многогранник, так что его грани и внутренние углы равны друг другу.

romboedro

Это параллелепипед с бриллиантами на лице. Эти алмазы все равны между собой, так как они имеют общие края.

Romboiedro

Его шесть граней - ромбоиды. Напомним, что ромбоид представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые равны от двух до двух. Ромбоиды - это параллелограммы, которые не являются ни квадратными, ни прямоугольниками, ни ромбами.

С другой стороны, косые параллелепипеды - это те, в которых хотя бы одна высота не совпадает с ее краем. В эту классификацию мы можем включить ромбоэдры и ромбиэдры.

Диагональный расчет

Чтобы вычислить диагональ ортоэдра, мы можем использовать теорему Пифагора для R³.

Напомним, что ортоэдр имеет характеристику, состоящую в том, что каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общий край. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно тем, которые имеют общую вершину.

Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом:

1. Мы рассчитаем диагональ одной из граней, которую мы положим в качестве основы. Для этого мы используем теорему Пифагора. Назовите эту диагональ_б.

2. Потом с д_б мы можем сформировать новый прямоугольный треугольник, такой, что гипотенуза указанного треугольника является искомой диагональю D.

3. Мы снова используем теорему Пифагора и получаем, что длина указанной диагонали равна:

Другой способ вычислить диагонали более наглядным способом - с помощью суммы свободных векторов..

Напомним, что два свободных вектора A и B добавляются путем помещения хвоста вектора B с острием вектора A.

Вектор (A + B) является тем, который начинается в хвосте A и заканчивается в конце B.

Рассмотрим параллелепипед, по которому мы хотим вычислить диагональ.

Отождествляем ребра с удобно ориентированными векторами.

Затем мы добавим эти векторы, и результирующий вектор будет диагональю параллелепипеда.

область

Площадь параллелепипеда задается суммой каждой из областей их граней..

Если мы определим одну из сторон в качестве базы,

_L + 2A_В = Общая площадь

Где_L равна сумме площадей всех сторон, прилегающих к основанию, называемых боковой зоной и А_В это базовая зона.

В зависимости от типа параллелепипеда, с которым мы работаем, мы можем переписать указанную формулу.

Площадь ортоэдра

Дается по формуле

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Учитывая следующий ортоэдр, со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см, вычислите площадь параллелепипеда и длину его диагонали.

Используя формулу для площади ортоэдра, мы должны

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 см².

Обратите внимание, что, поскольку это ортоэдр, длина любой из его четырех диагоналей одинакова.

Используя теорему Пифагора для пространства, мы должны

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Площадь куба

Поскольку каждое ребро имеет одинаковую длину, мы имеем a = b и a = c. Подставляя в предыдущую формулу, мы имеем

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а²) = 6а²

А = 6а²

Пример 2

Коробка игровой приставки имеет форму куба. Если мы хотим обернуть эту коробку подарочной бумагой, сколько бумаги мы бы потратили, зная, что длина краев куба составляет 45 см??

Используя формулу площади куба, получаем, что

А = 6 (45 см)² = 6 (2025 см²= 12150 см²

Площадь ромбоэдра

Поскольку все их лица равны, достаточно рассчитать площадь одного из них и умножить его на шесть.

Мы можем рассчитать площадь алмаза, используя его диагонали по следующей формуле

_R = (Дд) / 2

Из этой формулы следует, что общая площадь ромбоэдра

_T = 6 (Дд) / 2 = 3Dд.

Пример 3

Грани следующего ромбоэдра образованы ромбом, диагонали которого D = 7 см и d = 4 см. Ваша область будет

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см².

Площадь ромба

Чтобы вычислить площадь ромба, мы должны вычислить площадь ромбоидов, которые его составляют. Поскольку параллелепипеды соответствуют тому, что противоположные стороны имеют одинаковую площадь, мы можем связать стороны в трех парах.

Таким образом, мы имеем, что ваш район будет

_T = 2б₁час₁ + 2b₂час₂ + 2b₃час₃

Где б_Я являются основаниями, связанными со сторонами и_Я его относительная высота, соответствующая указанным основаниям.

Пример 4

Рассмотрим следующий параллелепипед,

где сторона A и сторона A '(противоположная сторона) имеют основание b = 10 и высоту h = 6. Обозначенная область будет иметь значение

₁ = 2 (10) (6) = 120

B и B 'имеют b = 4 и h = 6, тогда

₂ = 2 (4) (6) = 48

А С и С 'имеют b = 10 и h = 5, поэтому

₃ = 2 (10) (5) = 100

Наконец, площадь ромбоэдра

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую упомянутой грани..

V = A_Счас_С

В зависимости от типа параллелепипеда указанная формула может быть упрощена.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра будет

V = abc.

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

И в частном случае куба

V =³

Пример 1

Существует три разных модели коробок печенья, и вы хотите знать, в какой из этих моделей вы можете хранить больше печенья, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Первый - это куб, край которого имеет длину а = 10 см.

Его объем будет V = 1000 см.³

Второй имеет ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см.³

А третий имеет е = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

И его объем составляет V = 1053 см.³

Поэтому ящик с наибольшим объемом является третьим.

Еще один способ получения объема параллелепипеда - прибегнуть к векторной алгебре. В частности, тройное скалярное произведение.

Одной из геометрических интерпретаций, имеющих тройное скалярное произведение, является объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве начальной точки..

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать его объем, достаточно представить его в системе координат в R³ сопоставление одной из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат с векторами, как показано на рисунке..

И таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда определяется как

V = | AxB ∙ C |

Или, что эквивалентно, объем является детерминантом матрицы 3 × 3, образованной компонентами краевых векторов.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R³ мы можем видеть, что векторы, которые определяют это следующие

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Используя тройное скалярное произведение, мы имеем

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4,4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Из этого мы заключаем, что V = 60

Теперь рассмотрим следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование определителей дает нам, что

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 112.

Оба являются эквивалентными способами расчета объема.

Идеальный параллелепипед

Он известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера) для ортоэдра, который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами..

Хотя Эйлер был не первым ученым, изучавшим ортоэдры, которые встречают это свойство, он нашел интересные результаты о них.

Меньший кирпич Эйлера был открыт Полом Холке, а длина его ребер a = 44, b = 117 и c = 240..

Открытая проблема в теории чисел заключается в следующем

Есть ли идеальные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос не может быть ответа, так как не было возможности доказать, что эти тела не существуют, но ни один не был найден.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды существуют. Первый из обнаруженных имеет длину своих ребер значения 103, 106 и 271.

библиография

1. Гай Р. (1981). Нерешенные проблемы теории чисел. прыгун.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Geometria. прогресс.
3. Leithold, L. (1992). РАСЧЕТ с аналитической геометрией. HARLA, S.A.
4. Рендон А. (2004). Технический чертеж: Рабочая тетрадь 3 2-й бакалавриат . Tebar.
5. Резник Р., Холлидей Д. и Крейн К. (2001). Физика Том 1. Мексика: континентальный.