Дискретная математика, чему они служат, теория множеств

дискретная математика соответствовать области математики, которая отвечает за изучение множества натуральных чисел; то есть множество конечных и бесконечных счетных чисел, где элементы могут быть подсчитаны отдельно, один за другим.

Эти наборы известны как дискретные наборы; Примером этих наборов являются целые числа, графики или логические выражения, и они применяются в различных областях науки, главным образом в области вычислительной техники или вычислительной техники..

индекс

• 1 Описание
• 2 Для чего нужна дискретная математика??
  • 2.1 Комбинаторный
  • 2.2 Теория дискретного распределения
  • 2.3 Теория информации
  • 2.4 Компьютерные вычисления
  • 2.5 Криптография
  • 2.6 Логика
  • 2.7 Теория графов
  • 2.8 Геометрия
• 3 Теория множеств
  • 3.1 Конечный набор
  • 3.2 Бесконечный учетный набор
• 4 Ссылки

описание

В дискретной математике процессы исчисляются на основе целых чисел. Это означает, что десятичные числа не используются и, следовательно, аппроксимация или пределы не используются, как в других областях. Например, один неизвестный может быть равен 5 или 6, но никогда не равен 4,99 или 5,9..

С другой стороны, в графическом представлении переменные будут дискретными и задаются из конечного набора точек, которые подсчитываются одна за другой, как видно на рисунке:

Дискретная математика рождается из необходимости получить точное исследование, которое можно объединить и проверить, чтобы применить его в различных областях.

Для чего нужна дискретная математика??

Дискретная математика используется во многих областях. Среди основных из них:

комбинаторный

Изучите конечные множества, где элементы могут быть упорядочены или объединены и подсчитаны.

Теория дискретного распределения

Изучите события, которые происходят в пространствах, где выборки могут быть счетными, в которых непрерывные распределения используются для аппроксимации дискретных распределений или иным образом.

Теория информации

Это относится к кодированию информации, используемой для проектирования и передачи и хранения данных, таких как, например, аналоговые сигналы.

вычисления

Посредством дискретной математики проблемы решаются с использованием алгоритмов, а также изучения того, что можно вычислить, и времени, которое требуется для этого (сложность)..

Важность дискретной математики в этой области возросла в последние десятилетия, особенно для развития языков программирования и программное обеспечение.

криптография

Он основан на дискретной математике для создания структур безопасности или методов шифрования. Примером этого приложения являются пароли, отправляющие отдельно биты, содержащие информацию.

Благодаря изучению свойств целых и простых чисел (теория чисел) можно создавать или разрушать эти методы безопасности.

логика

Используются дискретные структуры, которые обычно образуют конечное множество, чтобы доказать теоремы или, например, проверить программное обеспечение.

Теория графов

Это позволяет решать логические задачи, используя узлы и линии, которые образуют тип графика, как показано на следующем рисунке:

Это область, тесно связанная с дискретной математикой, потому что алгебраические выражения дискретны. Благодаря этому разрабатываются электронные схемы, процессоры, программирование (булева алгебра) и базы данных (реляционная алгебра)..

геометрия

Изучите комбинаторные свойства геометрических объектов, таких как покрытие плоскости. С другой стороны, вычислительная геометрия позволяет разрабатывать геометрические задачи, применяя алгоритмы.

Теория множеств

В дискретной математике множества (конечное и бесконечное число) являются основной целью исследования. Теория множеств была опубликована Джорджем Кантором, который показал, что все бесконечные множества имеют одинаковый размер.

Набор - это группа элементов (чисел, вещей, животных и людей, среди прочих), которые хорошо определены; то есть существует отношение, согласно которому каждый элемент принадлежит множеству и выражается, например, в ∈ A.

В математике существуют различные наборы, которые группируют определенные числа в соответствии с их характеристиками. Так, например, у вас есть:

- Множество натуральных чисел N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Набор целых чисел E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Подмножество рациональных чисел Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Набор действительных чисел R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Наборы названы буквами алфавита, заглавными буквами; в то время как элементы названы строчными буквами, заключены в фигурные скобки () и разделены запятыми (,). Они обычно представлены в диаграммах, таких как Венна и Кэролла, а также в вычислительном отношении..

С помощью основных операций, таких как объединение, пересечение, дополнение, разность и декартово произведение, множества и их элементы управляются на основе отношения принадлежности.

Существует несколько видов множеств, наиболее изученными в дискретной математике являются следующие:

Конечный набор

Это тот, который имеет конечное число элементов и соответствует натуральному числу. Так, например, A = 1, 2, 3,4 - конечное множество, состоящее из 4 элементов.

Бесконечный бухгалтерский набор

Это тот, в котором есть соответствие между элементами множества и натуральными числами; то есть, что из элемента могут быть последовательно перечислены все элементы множества.

Таким образом, каждый элемент будет соответствовать каждому элементу из набора натуральных чисел. Например:

Набор целых чисел Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... может быть указан как Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Таким образом, можно сделать взаимно-однозначное соответствие между элементами Z и натуральными числами, как показано на следующем рисунке:

Это метод, используемый для решения непрерывных задач (моделей и уравнений), который необходимо преобразовать в дискретные задачи, в которых решение известно с приближением решения непрерывной задачи..

С другой стороны, дискретизация пытается извлечь конечную величину из бесконечного множества точек; таким образом, непрерывная единица превращается в отдельные единицы.

Обычно этот метод используется в численном анализе, как, например, в решении дифференциального уравнения с помощью функции, которая представлена ​​конечным количеством данных в своей области, даже когда она непрерывна.

Другим примером дискретизации является ее использование для преобразования аналогового сигнала в цифровой, когда непрерывные единицы сигнала преобразуются в отдельные единицы (они дискретизируются), а затем кодируются и квантуются для получения цифрового сигнала..

ссылки

1. Гримальди, Р.П. (1997). Дискретная и комбинаторная математика. Аддисон Уэсли Ибероамерикана.
2. Феррандо, В. Грегори. (1995). Дискретная математика Реверте.
3. Jech, T. (2011). Теория множеств. Стэнфордская энциклопедия философии.
4. Хосе Франсиско Вильяльпандо Бесерра, А. Г. (2014). Дискретная математика: приложения и упражнения. Патрия Редакционная группа.
5. Ландау Р. (2005). Вычислительный, первый курс по науке.
6. Мерайо, Ф. Г. (2005). Дискретная математика. Томсон Редакционные.
7. Розен К. Х. (2003). Дискретная математика и ее приложения. McGraw-Hill.
8. Schneider, D.G. (1995). Логический подход к дискретной математике.