Метод линейной интерполяции, решаемые упражнения

линейная интерполяция является методом, который происходит из общей интерполяции Ньютона и позволяет приближенным образом определить неизвестное значение, которое находится между двумя заданными числами; то есть существует промежуточное значение. Он также применяется к приближенным функциям, где значения f_(А) и е_(В) они известны, и вы хотите знать, средний уровень е_(Х).

Существуют различные типы интерполяции, такие как линейная, квадратичная, кубическая и более высокая степени, наиболее простым из которых является линейное приближение. Цена, которую нужно заплатить с помощью линейной интерполяции, состоит в том, что результат не будет таким же точным, как при приближении по функциям старших классов..

индекс

• 1 Определение
• 2 метод
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Упражнение 1
  • 3.2 Упражнение 2
• 4 Ссылки

определение

Линейная интерполяция - это процесс, который позволяет вывести значение между двумя четко определенными значениями, которые могут быть в таблице или на линейном графике..

Например, если вы знаете, что 3 литра молока стоят 4 доллара, а 5 литров - 7 долларов, но вы хотите узнать, какова стоимость 4 литра молока, интерполированное значение для определения этого промежуточного значения.

метод

Для оценки промежуточного значения функции функция f аппроксимируется_(Х) с помощью прямой линии r_(Х), это означает, что функция изменяется линейно с «x» для отрезка «x = a» и «x = b»; то есть для значения «х» в интервале (х₀, х₁) и (и₀, и₁) значение «у» задается линией между точками и выражается следующим соотношением:

(и - и₀) ÷ (х - х₀) = (и₁ - и₀) ÷ (х₁ - х₀)

Для того чтобы интерполяция была линейной, необходимо, чтобы интерполяционный полином имел степень один (n = 1), чтобы он соответствовал значениям x₀ и х_1.

Линейная интерполяция основана на сходстве треугольников, так что, геометрически получая из предыдущего выражения, мы можем получить значение «у», которое представляет неизвестное значение для «х».

Таким образом, вы должны:

a = tan Ɵ = (противоположная сторона₁ ÷ прилегающая нога₁) = (противоположная сторона₂ ÷ прилегающая нога₂)

Выражаясь по-другому, это:

(и - и₀) ÷ (х - х₀) = (и₁ - и₀) ÷ (х₁ - х₀)

Очистив "а" от выражений, вы получите:

(и - и₀) _* (х₁ - х₀) = (х - х₀) _* (и₁ - и₀)

(и - и₀) = (и₁ - и₀) _* [(х - х₀) ÷ (х₁ - х₀)]

Таким образом, мы получаем общее уравнение для линейной интерполяции:

у = у_{0 +} (и₁ - и₀) _* [(х - х₀) ÷ (х₁ - х₀)]

В целом, линейная интерполяция дает небольшую ошибку по сравнению с действительным значением истинной функции, хотя эта ошибка минимальна по сравнению с интуитивным выбором числа, близкого к тому, которое вы хотите найти..

Эта ошибка возникает, когда вы пытаетесь приблизить значение кривой с помощью прямой линии; для этих случаев размер интервала должен быть уменьшен, чтобы сделать приближение более точным.

Для достижения лучших результатов в отношении подхода рекомендуется использовать функции 2, 3 или даже более высоких классов для выполнения интерполяции. Для этих случаев теорема Тейлора является очень полезным инструментом.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Количество бактерий на единицу объема, существующее в инкубации через x часов, представлено в следующей таблице. Вы хотите узнать, что такое объем бактерий за время 3,5 часа.

решение

Справочная таблица не устанавливает значение, которое указывает количество бактерий за время 3,5 часа, но имеет более высокие и более низкие значения, соответствующие времени 3 и 4 часа, соответственно. Таким образом:

х₀ = 3 и₀ = 91

х = 3,5 у =?

х₁ = 4 и₁ = 135

Теперь математическое уравнение применяется для нахождения интерполированного значения, которое является следующим:

у = у_{0 +} (и₁ - и₀) _* [(х - х₀) ÷ (х₁ - х₀)].

Затем соответствующие значения заменяются:

у = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

у = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

у = 91 + 44 _* 0,5

у = 113.

Таким образом, получается, что в течение 3,5 часов количество бактерий составляет 113, что представляет собой промежуточный уровень между объемом бактерий, существовавших за время от 3 до 4 часов..

Упражнение 2

У Луиса есть фабрика по производству мороженого, и он хочет провести исследование, чтобы определить доход, который он получил в августе от произведенных расходов. Менеджер компании составляет график, который выражает эти отношения, но Луис хочет знать:

Каковы доходы за август, если были сделаны расходы в размере 55 000 долларов??

решение

График дан со значениями доходов и расходов. Луис хочет знать, какой будет августовский доход, если фабрика будет иметь 55 000 долларов. Это значение не отражается непосредственно на графике, но значения выше и ниже, чем это.

Сначала создается таблица, где легко соотносить значения:

Теперь формула интерполяции используется для определения значения y

у = у_{0 +} (и₁ - и₀) _* [(х - х₀) ÷ (х₁ - х₀)]

Затем соответствующие значения заменяются:

у = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55 000–45 000) ÷ (62 000–45 000)]

у = 56 000 + (22 000) _* [(10000) ÷ (17000)]

у = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

у = 56 000 + 12 936

у = 68 936 долларов.

Если в августе было сделано 55 000 долларов, то доход составил 68 936 долларов..

ссылки

1. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
2. Harpe, P. d. (2000). Темы в геометрической теории групп. Университет Чикагской Прессы.
3. Hazewinkel, M. (2001). Линейная интерполяция ", Энциклопедия математики.
4. , J.M. (1998). Элементы численных методов для инженерии. UASLP.
5. , E. (2002). Хронология интерполяции: от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений. Труды IEEE.
6. числовой, I. а. (2006). Ксавье Томас, Хорди Куадрос, Лусинио Гонсалес.