Частичные случаи и примеры



частичные дроби они являются дробями, образованными полиномами, в которых знаменатель может быть линейным или квадратичным полиномом и, кроме того, может быть возведен в некоторую степень. Иногда, когда у нас есть рациональные функции, очень полезно переписать эту функцию как сумму частичных или простых дробей..

Это так, потому что таким образом мы можем лучше управлять этими функциями, особенно в тех случаях, когда необходимо интегрировать это приложение. Рациональная функция - это просто частное между двумя полиномами, и она может быть правильной или неправильной.

Если степень многочлена числителя меньше знаменателя, это называется его собственной рациональной функцией; в противном случае это называется неправильной рациональной функцией.

индекс

  • 1 Определение
  • 2 случая
    • 2.1 Случай 1
    • 2.2 Случай 2
    • 2.3 Случай 3
    • 2.4 Случай 4
  • 3 Приложения
    • 3.1 Комплексный расчет
    • 3.2 Закон массовых действий
    • 3.3 Дифференциальные уравнения: логистическое уравнение
  • 4 Ссылки

определение

Когда у нас неправильная рациональная функция, мы можем разделить многочлен числителя между многочленом знаменателя и, таким образом, переписать дробь p (x) / q (x), следуя алгоритму деления, как t (x) + s (x) / q (x), где t (x) - многочлен, а s (x) / q (x) - собственная рациональная функция.

Частичная дробь - это любая собственная функция многочленов, знаменатель которых имеет вид (ax + b)N о (топор2+ BX + C)N, если полиномиальный топор2 + bx + c не имеет действительных корней и n является натуральным числом.

Чтобы переписать рациональную функцию в частичных дробях, первое, что нужно сделать, - это разложить знаменатель q (x) как произведение линейных и / или квадратичных факторов. Как только это сделано, определяются частичные доли, которые зависят от природы указанных факторов..

случаи

Рассмотрим несколько случаев отдельно.

Дело 1

Коэффициенты q (x) все линейны и ни один не повторяется. То есть:

q (x) = (а1х + б1) (а2х + б2) ... (sх + бs)

Там ни один линейный фактор не идентичен другому. Когда этот случай произойдет, мы напишем:

p (x) / q (x) = A1/ (1х + б1) + A2/ (2х + б2) ... + As/ (sх + бs).

Где1,2,..., Аs константы, которые вы хотите найти.

пример

Мы хотим разложить рациональную функцию на простые дроби:

(х - 1) / (х3+3x2+2x)

Перейдем к факторизации знаменателя, то есть:

х3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

то:

(х - 1) / (х3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Применяя наименьшее общее кратное, вы можете получить следующее:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Мы хотим получить значения констант A, B и C, которые можно найти, заменив корни, которые отменяют каждый из членов. Подставляя 0 для х имеем:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

A = - 1/2.

Подставляя - 1 для х имеем:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Подставляя - 2 для х имеем:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Таким образом, получают значения A = -1/2, B = 2 и C = -3/2..

Существует еще один метод получения значений A, B и C. Если в правой части уравнения x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) х мы объединяем термины, имеем:

х - 1 = (А + В + С) х2 + (3А + 2В + С) х + 2А.

Поскольку это равенство полиномов, мы имеем, что коэффициенты левой части должны быть равны коэффициентам правой части. Это приводит к следующей системе уравнений:

A + B + C = 0

3А + 2В + С = 1

2А = - 1

При решении этой системы уравнений получаем результаты A = -1/2, B = 2 и C = -3/2.

Наконец, заменяя полученные значения мы должны:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Дело 2

Коэффициенты q (x) являются линейными, а некоторые повторяются. Предположим, что (ax + b) является фактором, который повторяется "s" раз; тогда этому фактору соответствует сумма "s" частичных дробей.

s/ (топор + б)s + с-1/ (топор + б)с-1 +... + A1/ (топор + б).

Гдеs,с-1,..., А1 они являются константами, которые будут определены. На следующем примере мы покажем, как определить эти константы.

пример

Разложить на частичные дроби:

(х - 1) / (х2(х - 2)3)

Мы записываем рациональную функцию в виде суммы частичных дробей следующим образом:

(х - 1) / (х2(х - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + Д / (х - 2)2 + E / (x - 2).

то:

х - 1 = А (х - 2)3 + Б (х - 2)3х + хх2 + Д (х - 2) х2 + E (x - 2)2х2

Подставляя 2 для x, мы должны:

7 = 4C, то есть C = 7/4.

Подставляя 0 для х имеем:

- 1 = -8А или А = 1/8.

Подставляя эти значения в предыдущее уравнение и развивая, мы должны:

х - 1 = 1/8 (х3 - 6х2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6х2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + бывший2(х2 - 4х + 4)

х - 1 = (В + Е) х4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Сопоставляя коэффициенты, мы получаем следующую систему уравнений:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Решая систему, мы имеем:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Из-за этого мы должны:

(х - 1) / (х2(х - 2)3) = (1/8) / х2 + (3/16) / х + (7/4) / (х - 2)3 + (5/4) / (х - 2)2 - (3/16) / (х - 2).

Дело 3

Коэффициенты q (x) являются квадратично-линейными, без повторения квадратичного множителя. Для этого случая квадратичный фактор (топор2 + bx + c) соответствует частичной дроби (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), где константы A и B - это те, которые вы хотите определить.

В следующем примере показано, как действовать в этом случае

пример

Разложить на простые дроби a (x + 1) / (x3 - 1).

Сначала мы переходим к фактору знаменателя, который дает нам в результате:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Мы можем видеть, что (х2 + x + 1) неприводимый квадратичный полином; то есть у него нет настоящих корней. Его разложение на частичные дроби будет выглядеть следующим образом:

(х + 1) / (х - 1) (х2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + х +1)

Отсюда получаем следующее уравнение:

х + 1 = (А + В) х2 +(A - B + C) x + (A - C)

Используя равенство полиномов, получаем следующую систему:

А + В = 0;

А - В + С = 1;

А - С = 1;

Из этой системы мы имеем A = 2/3, B = - 2/3 и C = 1/3. Подставляя, мы должны:

(х + 1) / (х - 1) (х2 + х +1) = 2/3 (х - 1) - (2х + 1) / 3 (х2 + х +1).

Дело 4

Наконец, случай 4 - это случай, когда множители q (x) являются линейными и квадратичными, где некоторые из линейных квадратичных множителей повторяются.

В этом случае да (топор2 + bx + c) - квадратичный множитель, который повторяется «s» раз, тогда частичная дробь, соответствующая множителю (ax)2 + bx + c) будет:

(A1х + б) / (топор2 + bx + c) + ... + (Aс-1х + бс-1) / (топор)2 + BX + C)с-1 + (Asх + бs) / (топор)2 + BX + C)s

Гдеs, с-1,..., А и Бs, Вс-1,..., B - константы, которые вы хотите определить.

пример

Мы хотим разбить следующую рациональную функцию на частичные дроби:

(х - 2) / (х (х2 - 4х + 5)2)

Как х2 - 4x + 5 - неприводимый квадратичный фактор, имеем, что его разложение на частичные дроби дается выражением:

(х - 2) / (х (х2 - 4х + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4х + 5)2

Упрощая и развивая, мы имеем:

х - 2 = А (х2 - 4х + 5)2 + (Bx + C) (х2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

х - 2 = (А + В) х4 + (- 8А - 4В + С) х3 + (26А + 5В - 4С + D) х2 + (- 40А + 5С + Е) х + 25А.

Из вышесказанного имеем следующую систему уравнений:

А + В = 0;

- 8А - 4В + С = 0;

26А + 5В - 4С + D = 0;

- 40А + 5С + Е = 1;

25А = 2.

При решении системы мы должны:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 и E = - 3/5.

При замене полученных значений имеем:

(х - 2) / (х (х2 - 4х + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4х + 5)2

приложений

Комплексный расчет

Частичные дроби используются в основном для изучения интегрального исчисления. Ниже мы увидим несколько примеров того, как сделать интегралы, используя частичные дроби.

Пример 1

Мы хотим рассчитать интеграл от:

Мы видим, что знаменатель q (x) = (t + 2)2(t + 1) состоит из линейных факторов, где один из этих повторов; для этого мы в случае 2.

Мы должны:

1 / (т + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Переписываем уравнение и получаем:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Если t = - 1, мы должны:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = С

Если t = - 2, это дает нам:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Тогда, если t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Подставляя значения А и С:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Из вышесказанного имеем, что B = - 1.

Переписываем интеграл как:

Перейдем к ее решению методом подстановки:

Это приводит к:

Пример 2

Решите следующий интеграл:

В этом случае мы можем разложить на q (x) = x2 - 4 как q (x) = (x - 2) (x + 2). Ясно, что мы находимся в случае 1. Поэтому:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Это также может быть выражено как:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Если x = - 2, мы имеем:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

И если х = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Таким образом, мы должны решить, что данный интеграл эквивалентен решению:

Это дает нам в результате:

Пример 3

Решить интеграл:

У нас q (x) = 9x4 + х2 , что мы можем учесть в q (x) = x2(9х2 + 1).

В этом случае мы имеем повторяющийся линейный множитель и квадратичный множитель; то есть мы в случае 3.

Мы должны:

1 / х2(9х2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Группируя и используя равенство полиномов, имеем:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

А = 1;

B = 0;

9А + Д = 0;

9B + C = 0

Из этой системы уравнений мы должны:

D = - 9 и C = 0

Таким образом, мы имеем:

Решая вышесказанное, мы имеем:

Закон массовых действий

Интересное применение частичных дробей, примененных к интегральному исчислению, найдено в химии, точнее в законе действия массы.

Предположим, что у нас есть два вещества, A и B, которые собираются вместе и образуют вещество C, так что производная количества C по времени пропорциональна произведению количеств A и B в любой данный момент..

Мы можем выразить закон массовых действий следующим образом:

В этом выражении α - начальное количество граммов, соответствующее A, а β - начальное количество граммов, соответствующее B..

Кроме того, r и s представляют количество граммов A и B соответственно, которые объединяются, чтобы сформировать r + s граммов C. Со своей стороны, x представляет количество граммов вещества C в момент времени t, и K представляет собой константа пропорциональности. Приведенное выше уравнение можно переписать так:

Внести следующие изменения:

У нас есть, что уравнение становится:

Из этого выражения мы можем получить:

Где да a ≠ b, частичные дроби могут быть использованы для интеграции.

пример

Возьмем, к примеру, вещество C, которое возникает в результате объединения вещества A с B таким образом, что выполняется закон масс, где значения a и b равны 8 и 6 соответственно. Дайте уравнение, которое дает нам значение граммов C как функцию времени.

Подставляя значения в данный массовый закон, имеем:

При разделении переменных имеем:

Здесь 1 / (8-x) (6-x) можно записать в виде суммы частичных дробей следующим образом:

Таким образом, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Если мы заменим x на 6, то получим, что B = 1/2; и подставляя x для 8, мы имеем A = - 1/2.

Интегрируя по частичным дробям имеем:

Это дает нам в результате:

Дифференциальные уравнения: логистическое уравнение

Другое применение, которое может быть дано частичным дробям, находится в логистическом дифференциальном уравнении. В простых моделях мы имеем, что скорость роста населения пропорциональна ее размеру; то есть:

Этот случай является идеальным и считается реалистичным, пока не произойдет, что ресурсов, имеющихся в системе, недостаточно для поддержания населения.

В этих ситуациях более разумно думать, что существует максимальная емкость, которую мы будем называть L, которую система может поддерживать, и что темп роста пропорционален размеру населения, умноженному на доступный размер. Этот аргумент приводит к следующему дифференциальному уравнению:

Это выражение называется логистическим дифференциальным уравнением. Это сепарабельное дифференциальное уравнение, которое может быть решено методом интегрирования по частичным дробям.

пример

В качестве примера можно было бы рассмотреть популяцию, которая растет в соответствии со следующим логистическим дифференциальным уравнением y '= 0,0004y (1000 - y), чьи исходные данные равны 400. Мы хотим знать размер популяции в момент времени t = 2, где измеряется t в годах.

Если мы напишем a и 'с нотацией Лейбница как функцией, которая зависит от t, мы должны:

Интеграл левой части можно решить с помощью метода интегрирования по частичным дробям:

Это последнее равенство можно переписать следующим образом:

- Подставляя y = 0, мы имеем A, равный 1/1000.

- Подставляя y = 1000, мы получаем, что B равно 1/1000.

С этими значениями интеграл остается следующим:

Решение:

Используя исходные данные:

При расчистке мы и оставили:

Тогда мы имеем это при t = 2:

В заключение, через 2 года численность населения составляет около 597,37.

ссылки

  1. А, Р. А. (2012). Математика 1. Университет Анд Издательский совет.
  2. Cortez, I. & Sanchez, C. (s.f.). 801 разрешенных интегралов. Национальный экспериментальный университет Тачиры.
  3. Leithold, L. (1992). РАСЧЕТ с аналитической геометрией. HARLA, S.A.
  4. Перселл, Э.Дж., Варберг Д., Ригдон С.Э. (2007). расчет. Мексика: Пирсон Образование.
  5. Saenz, J. (s.f.). Комплексное исчисление. гипотенуза.