Последовательные производные (с решенными упражнениями)

 последовательные производные являются производными функции после второй производной. Процесс вычисления последовательных производных выглядит следующим образом: у нас есть функция f, которую мы можем вывести и, таким образом, получить производную функцию f '. К этой производной от f мы можем вывести ее снова, получив (f ')'.

Эта новая функция называется второй производной; все производные, рассчитанные по второму, являются последовательными; Они, также называемые более высоким порядком, имеют отличные приложения, такие как предоставление информации о графике графика функции, тест второй производной для относительных крайностей и определение бесконечных рядов..

индекс

• 1 Определение
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Пример 2
• 2 Скорость и ускорение
  • 2.1 Пример 1
  • 2.2 Пример 2
• 3 Приложения
  • 3.1 Mplified вывод
  • 3.2 Пример
  • 3.3 Относительные цели
  • 3.4 Пример
  • 3.5 серия Тейлор
  • 3.6 Пример
• 4 Ссылки

определение

Используя обозначения Лейбница, мы получаем, что производная функции «и» по «х» равна dy / dx. Чтобы выразить вторую производную от «и», используя обозначение Лейбница, напишем следующее:

В общем случае мы можем выразить последовательные производные следующим образом с помощью обозначения Лейбница, где n представляет порядок производной.

Другие используемые обозначения следующие:

Некоторые примеры, где мы можем видеть различные обозначения:

Пример 1

Получить все производные функции f, определяемые как:

Используя обычные методы деривации, мы получаем, что производная от f равна:

Повторяя процесс, мы можем получить вторую производную, третью производную и т. Д..

Обратите внимание, что четвертая производная равна нулю, а производная от нуля равна нулю, поэтому мы должны:

Пример 2

Вычислите четвертую производную следующей функции:

Вывод данной функции мы получаем в результате:

Скорость и ускорение

Одним из мотивов, которые привели к открытию производной, был поиск определения мгновенной скорости. Формальное определение следующее:

Пусть y = f (t) - функция, график которой описывает траекторию частицы в данный момент. T, тогда его скорость в момент времени t определяется как:

Получив скорость частицы, мы можем рассчитать мгновенное ускорение, которое определяется следующим образом:

Мгновенное ускорение частицы, путь которой определяется как y = f (t):

Пример 1

Частица движется по линии согласно функции положения:

Где «у» измеряется в метрах, а «т» в секундах.

- В какой момент ваша скорость равна 0?

- В какой момент ваше ускорение равно 0?

При выводе функции положения «и» имеем, что ее скорость и ускорение определяются соответственно как:

Чтобы ответить на первый вопрос, достаточно определить, когда функция v становится равной нулю; это:

Аналогичным образом приступим к следующему вопросу:

Пример 2

Частица движется по линии согласно следующему уравнению движения:

Определите "t, y" и "v", когда a = 0.

Зная, что скорость и ускорение определяются

Мы продолжаем получать и получать:

Делая = 0, мы имеем:

Из чего мы можем сделать вывод, что значение t, равное нулю, равно t = 1.

Затем, оценивая функцию положения и функцию скорости при t = 1, мы должны:

приложений

Mplified вывод

Последовательные производные также могут быть получены путем неявного деривации.

пример

Учитывая следующий эллипс, найдите «и»:

Неявно получая по x, имеем:

Затем, неявно извлекая по x, это дает нам:

Наконец, мы имеем:

Относительные цели

Другое использование, которое мы можем дать производным второго порядка, - вычисление относительных концов функции..

Критерий первой производной для локальных экстремумов говорит нам, что, если у нас есть функция f, непрерывная в диапазоне (a, b), и существует c, принадлежащий этому интервалу, такой, что f 'аннулируется в c (то есть, что c является критической точкой), может произойти один из этих трех случаев:

- Если f '(x)> 0 для любого x, принадлежащего (a, c) и f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Если F '(х) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 для x, принадлежащего (c, b), тогда f (c) является локальным минимумом.

- Если f '(x) имеет одинаковый знак в (a, c) и в (c, b), это означает, что f (c) не является локальной конечной точкой.

Используя критерий второй производной, мы можем узнать, является ли критическое число функции максимальным или локальным минимумом, без необходимости видеть, каков знак функции в вышеупомянутых интервалах..

Критерий второго вывода говорит нам, что если f '(c) = 0 и что f "(x) непрерывна в (a, b), то случается, что если f" (c)> 0, то f (c) является локальный минимум и если f "(с) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Если f "(c) = 0, мы не можем ничего сделать.

пример

Дана функция f (x) = x⁴ + (4/3) х³ - 4x², найти относительные максимумы и минимумы f, применяя критерий второй производной.

Сначала мы вычисляем f '(x) и f "(x) и получаем:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8х

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Теперь f '(x) = 0, если и только если 4x (x + 2) (x - 1) = 0, и это происходит, когда x = 0, x = 1 или x = - 2.

Чтобы определить, являются ли полученные критические числа относительными крайностями, достаточно оценить в f "и, таким образом, наблюдать его знак.

f "(0) = - 8, поэтому f (0) - локальный максимум.

f "(1) = 12, поэтому f (1) является локальным минимумом.

f "(- 2) = 24, поэтому f (- 2) - локальный минимум.

Серия Тейлор

Пусть f будет функцией, определенной следующим образом:

Эта функция имеет радиус сходимости R> 0 и имеет производные всех порядков в (-R, R). Последовательные производные от f дают нам:

Взяв x = 0, мы можем получить значения c_N на основе его производных следующим образом:

Если мы возьмем n = 0 в качестве функции f (то есть f ^ 0 = f), то мы можем переписать функцию следующим образом:

Теперь рассмотрим функцию как ряд степеней в x = a:

Если мы выполним аналогичный анализ с предыдущим, мы должны будем написать функцию f как:

Эти ряды известны как ряд Тейлора f в. Когда a = 0, мы имеем частный случай, называемый рядом Маклаурина. Этот тип рядов имеет большое математическое значение, особенно в численном анализе, поскольку благодаря ним мы можем определять функции в компьютерах, такие как^х , грех (х) и соз (х).

пример

Получить серию Maclaurin для электронной^х.

Обратите внимание, что если f (x) = e^х, тогда е^(N)(х) = е^х и е^(N)(0) = 1, поэтому его серия Маклаурин:

ссылки

1. Фрэнк Айрес, Дж., И Мендельсон, Э. (с.ф.). 5ed расчет. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). РАСЧЕТ с аналитической геометрией. HARLA, S.A.
3. Перселл, Э.Дж., Варберг Д., Ригдон С.Э. (2007). расчет. Мексика: Пирсон Образование.
4. Saenz, J. (2005). Дифференциальный расчет. гипотенуза.
5. Saenz, J. (s.f.). Комплексное исчисление. гипотенуза.