Алгебраические производные (с примерами)



алгебраические производные они заключаются в изучении производной в частном случае алгебраических функций. Происхождение понятия производного восходит к Древней Греции. Развитие этого понятия было мотивировано необходимостью решения двух важных задач: одна в физике, а другая в математике..

В физике производная решает задачу определения мгновенной скорости движущегося объекта. В математике вы можете найти касательную к кривой в данной точке.

Хотя на самом деле существует гораздо больше проблем, которые решаются с помощью производной, а также ее обобщений, результаты, появившиеся после введения ее концепции.

Пионерами дифференциального исчисления являются Ньютон и Лейбниц. Прежде чем дать формальное определение, мы разработаем идею, лежащую в основе, с математической и физической точки зрения.

индекс

  • 1 Производная как наклон касательной к кривой
  • 2 Производная как мгновенная скорость движущегося объекта
    • 2.1 Алгебраическая функция
  • 3 Правила деривации
    • 3.1 Получено от константы
    • 3.2 Производная силы
    • 3.3 Получено от сложения и вычитания
    • 3.4 Производная продукта
    • 3.5 Получено из частного
    • 3.6 Правило цепочки
  • 4 Ссылки

Производная как наклон касательной к кривой

Предположим, что график функции y = f (x) является непрерывным графом (без вершин, вершин или разделений), и пусть A = (a, f (a)) является неподвижной точкой на нем. Мы хотим найти уравнение касательной к графику функции f в точке A.

Возьмите любую другую точку P = (x, f (x)) графика, близкую к точке A, и нарисуйте секущую линию, которая проходит через A и P. Секущая линия - это линия, которая разрезает график кривой в один или больше очков.

Чтобы получить касательную линию, которую мы хотим, нам нужно только вычислить наклон, потому что у нас уже есть точка на линии: точка A.

Если мы переместим точку P вдоль графика и подведем ее все ближе и ближе к точке A, вышеупомянутая секущая линия приблизится к касательной линии, которую мы хотим найти. Принимая предел, когда «P стремится к A», обе линии будут совпадать, поэтому его наклоны также.

Наклон секущей линии определяется как

Сказать, что P приближается к A, равносильно тому, что «x» приближается к «a». Таким образом, наклон касательной к графику f в точке A будет равен:

Вышеупомянутое выражение обозначается через f '(a) и определяется как производная функции f в точке "a". Затем мы видим, что аналитически производная функции в точке является пределом, но геометрически это наклон линии, касательной к графику функции в точке..

Теперь мы увидим это понятие с точки зрения физики. Мы придем к тому же выражению предыдущего предела, хотя и другим путем, получив единодушие определения.

Производная как мгновенная скорость движущегося объекта

Давайте посмотрим краткий пример того, что означает мгновенная скорость. Например, когда говорится, что машина, направляющаяся в пункт назначения, делала это со скоростью 100 км в час, что означает, что за один час она проехала 100 км..

Это не обязательно означает, что в течение всего часа машина всегда находилась на расстоянии 100 км, спидометр автомобиля мог в некоторых моментах отмечать меньше или больше. Если ему нужно было остановиться на светофоре, скорость в этот момент была 0 км. Однако через час маршрут прошел 100 км.

Это то, что известно как средняя скорость и определяется отношением расстояния, пройденного между прошедшим временем, как мы только что видели. С другой стороны, мгновенная скорость - это та, которая отмечает стрелку спидометра автомобиля в определенный момент (время).

Давайте посмотрим на это сейчас более широко. Предположим, что объект движется вдоль линии и что это смещение представляется с помощью уравнения s = f (t), где переменная t измеряет время, а переменная s - смещение с учетом его начала в момент t = 0, в это время он также равен нулю, то есть f (0) = 0.

Эта функция f (t) известна как функция положения.

Ищется выражение для мгновенной скорости объекта в фиксированный момент «а». На этой скорости мы будем обозначать ее как V (a).

Пусть t будет любым моментом, близким к моменту «а». В промежутке времени между «a» и «t» изменение положения объекта задается как f (t) -f (a).

Средняя скорость за этот промежуток времени:

Что является приближением мгновенной скорости V (a). Это приближение будет лучше, когда t приближается к «а». поэтому,

Заметьте, что это выражение равно полученному в предыдущем случае, но с другой точки зрения. Это то, что известно как производная функции f в точке «а» и обозначается через f '(a), как указано выше.

Обратите внимание, что, делая изменение h = x-a, мы имеем, что когда «x» стремится к «a», «h» стремится к 0, а предыдущий предел преобразуется (эквивалентно) в:

Оба выражения эквивалентны, но иногда лучше использовать одно вместо другого, в зависимости от случая.

Производная функции f затем определяется более широко в любой точке «x», принадлежащей ее области, как

Наиболее обычное обозначение для представления производной функции y = f (x) - это то, что мы только что видели (f 'o и'). Однако другой широко используемой нотацией является нотация Лейбница, представленная в виде любого из следующих выражений:

Ввиду того факта, что производная по сути является пределом, она может существовать или не существовать, поскольку пределы не всегда существуют. Если она существует, говорят, что рассматриваемая функция дифференцируема в данной точке..

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция представляет собой комбинацию полиномов с помощью сумм, вычитаний, произведений, отношений, степеней и радикалов..

Полином является выражением вида

PN= аNхN+ вн-1хн-1+ вн-2хн-2+... +2х2+ в1х + а0

Где n натуральное число и всеЯ, с i = 0,1, ..., n, являются рациональными числами иN≠ 0 В этом случае говорят, что степень этого многочлена равна n.

Ниже приведены примеры алгебраических функций:

Здесь экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции не включены. Правила вывода, которые мы увидим ниже, действительны для функций в целом, но мы ограничимся ими и применим их в случае алгебраических функций..

Правила обхода

Получено от константы

Он устанавливает, что производная константы равна нулю. То есть, если f (x) = c, то f '(x) = 0. Например, производная постоянной функции 2 равна 0.

Получено от власти

Если f (x) = xN, тогда f '(x) = nxн-1. Например, производная от х3 Это 3х2. Как следствие этого, мы получаем, что производная единичной функции f (x) = x есть f '(x) = 1x1-1= х0= 1.

Другой пример: be f (x) = 1 / x2, тогда f (x) = x-2 и f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

Это свойство также является допустимым корнем, потому что корни являются рациональными степенями, и вы можете применить вышеупомянутое также в этом случае. Например, производная квадратного корня определяется как

Получено из суммы и вычитания

Если f и g - дифференцируемые функции в x, то сумма f + g также различна и что (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Аналогично, мы имеем, что (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Другими словами, производная от суммы (вычитания) является суммой (или вычитанием) производных.

пример

Если h (x) = x2+х-1, то

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Получено из продукта

Если f и g являются дифференцируемыми функциями в x, то произведение fg также дифференцируемо в x и выполняется, что

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Как следствие, мы имеем, что если c является константой и f является дифференцируемой функцией по x, то cf также дифференцируемо по x и (cf) '(x) = cf' (X).

пример

Если f (x) = 3x (x2+1), то

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (х)' (х2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (х2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (х2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Получено из частного

Если f и g дифференцируемы по x и g (x) ≠ 0, то f / g также дифференцируемо по x, и верно, что

пример: если h (x) = x3/ (х2-5x), затем

h '(x) = [(x3) '(х5-5x) - (x3) (х5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (х5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (х5-5x)2.

Цепное правило

Это правило позволяет выводить состав функций. Он устанавливает следующее: если y = f (u) дифференцируемо по u, yu = g (x) дифференцируемо по x, то составная функция f (g (x)) дифференцируемо по x, и выполняется то, что [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

То есть производная составной функции является произведением производной внешней функции (внешней производной) на производную внутренней функции (внутренней производной).

пример

Если f (x) = (x4-2x)3, то

f '(x) = 3 (x4-2x)2(х4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

Существуют также результаты для вычисления производной от обратной функции, а также для обобщения производных более высокого порядка. Приложения обширны. Среди них они выделяют свои утилиты в задачах оптимизации и максимума и минимума функций.

ссылки

  1. Аларкон, С., Гонсалес, М. & Кинтана, Х. (2008). Дифференциальный расчет. ITM.
  2. Кабрера, В. М. (1997). Расчет 4000. Редакция Прогресо.
  3. Кастаньо, Х. Ф. (2005). Математика до расчета. Университет Медельина.
  4. Эдуардо, Н. А. (2003). Введение в расчет. Порог издания.
  5. Источники, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в расчет. Lulu.com.
  6. Перселл, Е.Дж., Ригдон, С.Э. и Варберг Д.Э. (2007). расчет. Пирсон Образование.
  7. Saenz, J. (2005). Дифференциальный расчет (Второе издание). Баркисимето: гипотенуза.
  8. Томас, Г. Б. и Вейр, М. Д. (2006). Расчет: несколько переменных. Пирсон Образование.