Расчет аппроксимаций с использованием дифференциала

Аппроксимация в математике - это число, которое не является точным значением чего-либо, но настолько близко к нему, что считается таким же полезным, как и это точное значение..

Когда в математике делаются приближения, это происходит потому, что вручную трудно (или иногда невозможно) узнать точное значение того, что нужно.

Основным инструментом при работе с аппроксимациями является дифференциал функции.

Дифференциал функции f, обозначаемый как Δf (x), не больше, чем производная функции f, умноженная на изменение независимой переменной, то есть Δf (x) = f '(x) * Δx.

Иногда вместо Δf и Δx используются df и dx.

Подходы с использованием дифференциала

Формула, применяемая для аппроксимации через дифференциал, возникает именно из определения производной функции как предела..

Эта формула имеет вид:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Здесь подразумевается, что Δx = x-x0, следовательно, x = x0 + Δx. Используя эту формулу можно переписать как

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Следует отметить, что «x0» не является произвольным значением, но является значением, таким образом, что f (x0) легко известен; Кроме того, "f (x)" это просто значение, которое мы хотим приблизить.

Есть ли лучшие приближения?

Ответ - да. Предыдущее является самым простым из приближений, называемых «линейное приближение».

Для более качественного приближения (ошибка меньше) используются многочлены с большим количеством производных, называемых «многочленами Тейлора», а также другие численные методы, такие как метод Ньютона-Рафсона и другие..

стратегия

Стратегия для подражания:

- Выберите подходящую функцию f для выполнения аппроксимации и значение «x» так, чтобы f (x) было значением, которое вы хотите аппроксимировать.

- Выберите значение «x0», близкое к «x», так что f (x0) легко вычислить.

- Рассчитать Δx = x-x0.

- Вычислить производную функции и f '(x0).

- Заменить данные в формуле.

Решенные приближенные упражнения

В том, что продолжается, есть серия упражнений, где аппроксимации сделаны с использованием дифференциального.

Первое упражнение

Приблизительно √3.

решение

Следуя стратегии, должна быть выбрана соответствующая функция. В этом случае видно, что выбираемая функция должна быть f (x) = √x, а приближенное значение - f (3) = √3..

Теперь мы должны выбрать значение «x0», близкое к «3», чтобы f (x0) было легко вычислить. Если вы выберете «x0 = 2», то у вас будет значение «x0», близкое к «3», но вычислить f (x0) = f (2) = √2 нелегко.

Удобное значение «x0» - «4», потому что «4» близко к «3», а также f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Если «x = 3» и «x0 = 4», то Δx = 3-4 = -1. Перейдем к вычислению производной от f. То есть f '(x) = 1/2 * √x, так что f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Подставляя все значения в формулу, вы получите:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Если используется калькулятор, получается, что √3≈1,73205 ... Это показывает, что предыдущий результат является хорошим приближением к реальному значению.

Второе упражнение

Приблизительно √10.

решение

Как и прежде, он выбирается как функция f (x) = √x и в этом случае x = 10.

Значение x0, которое необходимо выбрать в этой возможности, равно «x0 = 9». Тогда имеем Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 и f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Оценивая по формуле, вы получаете

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...

Используя калькулятор, вы получите, что √10 ≈ 3.1622776 ... Здесь вы также можете увидеть, что хорошее приближение было получено до.

Третье упражнение

Приблизительное ³√10, где ³√ обозначает кубический корень.

решение

Очевидно, что в этом упражнении должна использоваться функция f (x) = ³√x, а значение «x» должно быть «10».

Значение, близкое к «10», так что его корень куба известен, это «x0 = 8». Тогда имеем Δx = 10-8 = 2 и f (x0) = f (8) = 2. Также имеем f '(x) = 1/3 * ³√x² и, следовательно, f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Подставляя данные в формулу, получается, что:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Калькулятор говорит, что ³√10 ≈ 2.15443469 ... Поэтому найденное приближение хорошее.

Четвертое упражнение

Приблизительно ln (1.3), где «ln» обозначает функцию натурального логарифма.

решение

Сначала выбирается функция f (x) = ln (x) и значение «x» составляет 1,3. Теперь, немного зная о функции логарифма, мы можем знать, что ln (1) = 0, а также «1» близко к «1.3». Поэтому выбрано «x0 = 1» и поэтому Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

С другой стороны, f '(x) = 1 / x, так что f' (1) = 1. При оценке по данной формуле вы должны:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

При использовании калькулятора вы должны ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Так что сделанное приближение хорошо.

ссылки

1. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика. Прентис Холл ПТР.
2. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Хол.
3. Флеминг В. и Варберг Д. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
4. Ларсон Р. (2010). тригонометрия и алгебра (8 изд.). Cengage Learning.
5. Лил, Дж. М. и Вилория, Н. Дж. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: От редакции Venezolana C. A.
6. Перес, C. D. (2006). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.
7. Перселл, Э.Дж., Варберг Д., Ригдон С.Э. (2007). расчет (Девятое издание). Прентис Холл.
8. Saenz, J. (2005). Дифференциальное исчисление с ранними трансцендентными функциями для науки и техники (Второе издание ред.). гипотенуза.
9. Скотт, С. А. (2009). Декартова плоская геометрия, часть: аналитические коники (1907) (перепечатка ред.). Источник Молнии.
10. Салливан, М. (1997). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.