Особенности аксиоматического метода, этапы, примеры



аксиоматический метод или также называемый Аксиоматика - это формальная процедура, используемая науками, посредством которой формулируются утверждения или суждения, называемые аксиомами, связанные друг с другом отношением выводимости и которые являются основой гипотезы или условий определенной системы..

Это общее определение должно быть включено в эволюцию, которую эта методология имела на протяжении всей истории. Во-первых, существует древний метод или содержание, родившееся в Древней Греции от Евклида и позднее разработанное Аристотелем..

Во-вторых, уже в девятнадцатом веке появление геометрии с аксиомами отличалось от аксиом Евклида. И, наконец, формальный или современный аксиоматический метод, максимальным показателем которого был Дэвид Гильберт.

Помимо развития с течением времени, эта процедура была основой дедуктивного метода, используемого в геометрии и логике, где она возникла. Это также использовалось в физике, химии и биологии.

И это даже применимо к юридической науке, социологии и политической экономии. Однако в настоящее время наиболее важной областью его применения является математика и символическая логика, а также некоторые отрасли физики, такие как термодинамика, механика и другие дисциплины..

индекс

  • 1 Характеристики 
    • 1.1 Старый аксиоматический метод или содержание 
    • 1.2 Неевклидов аксиоматический метод
    • 1.3 Современный или формальный аксиоматический метод
  • 2 шага 
  • 3 примера
  • 4 Ссылки

черты

Хотя фундаментальной характеристикой этого метода является формулировка аксиом, они не всегда рассматривались одинаково.

Есть некоторые, которые могут быть определены и построены произвольным образом. И другие, в соответствии с моделью, в которой рассматривается ее интуитивно гарантированная правда.

Чтобы понять, в чем конкретно состоит это различие и каковы его последствия, необходимо рассмотреть эволюцию этого метода..

Старый аксиоматический метод или содержание 

Это тот, который был основан в Древней Греции в 5 веке до нашей эры. Сфера его применения - геометрия. Фундаментальная работа этого этапа - «Элементы Евклида», хотя считается, что до него Пифагор уже породил аксиоматический метод..

Таким образом, греки принимают определенные факты за аксиомы, не требуя каких-либо логических доказательств, то есть без необходимости демонстрации, поскольку для них они являются очевидной истиной.

Евклид, в свою очередь, представляет пять аксиом по геометрии:

1-Учитывая две точки есть линия, которая содержит или связывает их.

2-Любой сегмент может продолжаться непрерывно по неограниченной линии с обеих сторон..

3-Вы можете нарисовать круг, который имеет центр в любой точке и любом радиусе.

4-прямые углы одинаковы.

5. Принимая любую прямую линию и любую точку, которая не находится в ней, есть прямая линия, параллельная этому, и которая содержит эту точку. Эта аксиома известна позже как аксиома параллелей и была сформулирована также как: точкой вне линии можно провести одну параллель.

Тем не менее, как Евклид, так и более поздние математики сходятся во мнении, что пятая аксиома не так понятна, как другая 4. Даже во времена Ренессанса пытается вывести пятую из остальных 4, но это невозможно.

Это сделало то, что уже в девятнадцатом веке те, кто поддерживал пятерых, были сторонниками евклидовой геометрии, а те, кто отрицал пятую, были теми, кто создал неевклидовы геометрии.

Неевклидов аксиоматический метод

Именно Николай Иванович Лобачевский, Янош Боляй и Иоганн Карл Фридрих Гаусс видят возможность построения, без противоречия, геометрии, которая исходит из систем аксиом, отличных от систем аксиом Евклида. Это разрушает веру в абсолютную или априорную истинность аксиом и теорий, которые вытекают из них.

Следовательно, аксиомы начинают восприниматься как отправные точки данной теории. Также и их выбор, и проблема их обоснованности, так или иначе, начинают касаться фактов, выходящих за рамки аксиоматической теории..

Таким образом появляются геометрические, алгебраические и арифметические теории, построенные с помощью аксиоматического метода..

Эта стадия завершается созданием аксиоматических систем для арифметики, таких как система Джузеппе Пеано в 1891 году; геометрия Дэвида Хьюберта в 1899 году; заявления и предикатные расчеты Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела в Англии в 1910 году; Аксиоматическая теория множеств Эрнста Фридриха Фердинанда Цермело в 1908 г..

Современный или формальный аксиоматический метод

Именно Дэвид Хьюберт инициирует концепцию формального аксиоматического метода, и это приводит к его кульминации, Дэвид Хилберт.

Именно Гильберт формализует научный язык, рассматривая его утверждения как формулы или последовательности знаков, которые сами по себе не имеют никакого значения. Они приобретают смысл только в определенной интерпретации..

ВОсновы геометрии«Объясняет первый пример этой методологии. Отсюда геометрия становится наукой о чисто логических последствиях, которые извлекаются из системы гипотез или аксиом, лучше сформулированных, чем евклидова система..

Это потому, что в старой системе аксиоматическая теория основана на доказательстве аксиом. В то время как основа формальной теории дана демонстрацией непротиворечивости ее аксиом.

меры

Процедура, которая выполняет аксиоматическое структурирование в рамках научных теорий, признает:

a - выбор определенного количества аксиом, то есть ряда предложений определенной теории, которые принимаются без необходимости демонстрации.

б-понятия, входящие в эти суждения, не определены в рамках данной теории.

c-правила определения и вывода данной теории фиксированы и позволяют вводить новые понятия в рамках теории и логически выводить некоторые положения из других.

г - другие положения теории, т. е. теорема, выводятся из а на основе с.

примеров

Этот метод может быть проверен посредством демонстрации двух наиболее известных теорем Евклида: теоремы о ножке и теоремы о высоте..

И то и другое вытекает из наблюдения этого греческого геометра о том, что при построении высоты относительно гипотенузы внутри прямоугольного треугольника два треугольника оказываются больше оригинала. Эти треугольники похожи друг на друга и в то же время похожи на треугольник происхождения. Это предполагает, что их соответствующие гомологичные стороны пропорциональны.

Можно видеть, что конгруэнтные углы в треугольниках таким образом подтверждают сходство, которое существует между тремя задействованными треугольниками согласно критерию подобия AAA. Этот критерий гласит, что когда два треугольника имеют все равные углы, они похожи.

Как только треугольники показаны подобными, пропорции, определенные в первой теореме, могут быть установлены. В нем утверждается, что в правом треугольнике измерение каждого катета представляет собой среднее геометрическое пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета в нем..

Вторая теорема - это теорема о высоте. Он указывает, что любой прямоугольный треугольник, высота которого нарисована в соответствии с гипотенузой, является геометрическим пропорциональным средним между сегментами, которые определяются указанным геометрическим средним на гипотенузе..

Конечно, обе теоремы имеют множество применений во всем мире не только в области образования, но и в технике, физике, химии и астрономии..

ссылки

  1. Джованнини, Эдуардо Н. (2014). Геометрия, формализм и интуиция: Дэвид Гильберт и формальный аксиоматический метод (1895-1905). Philosophy Magazine, том 39, номер 2, с. 121-146. Взято с revistas.ucm.es.
  2. Гильберт, Дэвид. (1918) Аксиоматическая мысль. В W.Ewald, редактор, от Канта до Гильберта: сборник материалов по основам математики. Том II, с. 1105-1114. Издательство Оксфордского университета. 2005 год.
  3. Хинтикка, Яако. (2009). Что такое аксиоматический метод? Synthese, ноябрь 2011, том 189, с.69-85. Взято с link.springer.com.
  4. Лопес Эрнандес, Хосе. (2005). Введение в философию современного права. (Pp.48-49). Взято с books.google.com.ar.
  5. Ниренберг, Рикардо. (1996) Аксиоматический метод, прочитанный Рикардо Ниренбергом, осень 1996, Университет в Олбани, Проект Ренессанс. Взято из Albany.edu.
  6. Вентури, Джорджио. (2015) Гильберт между формальной и неформальной сторонами математики. Рукопись том. 38 нет 2, Кампинас, июль / август 2015 года. Взято с сайта scielo.br.