Что такое вектор и каковы его характеристики?

вектор это количество или явление, которое имеет два независимых свойства: величину и направление. Термин также обозначает математическое или геометрическое представление такого количества.

Примерами векторов в природе являются скорость, сила, электромагнитные поля и вес. Количество или явление, которое показывает только величину без определенного направления, называется скалярным.

Примеры скаляров включают скорость, массу, электрическое сопротивление и емкость жесткого диска.

Векторы могут быть представлены графически в двух или трех измерениях. Величина показана как длина сегмента. Направление показано ориентацией сегмента и стрелкой на одном конце.

На рисунке выше показаны три вектора в двумерных прямоугольных координатах (декартова плоскость) и их эквиваленты в полярных координатах.

Векторы в физике

В физике, когда у вас есть вектор, вы должны учитывать две величины: его направление и его величину. Количества, имеющие только одну величину, называются скалярами. Если направление задано скалярной величине, создается вектор.

Визуально вы видите векторы, нарисованные в виде стрелок, что идеально, потому что стрелка имеет четкое направление и четкую величину (длину стрелки).

На следующем рисунке стрелка представляет вектор, который начинается у основания стрелки (также называемого хвостом) и заканчивается в голове.

В физике жирная буква обычно используется для представления вектора, хотя она также может быть представлена ​​в виде буквы со стрелкой на нем..

Стрелка означает, что это не просто скалярное значение, которое будет представлено буквой A, но также что-то с направлением.

Различия между вектором и скаляром

Значения, которые не являются векторами, являются скалярными. Например, такое количество в 500 яблок является скаляром, у него нет адреса, это только величина. Время тоже скаляр, у него нет направления.

Однако скорость является вектором, поскольку она не только определяет величину (скорость) маршрута, но и указывает направление (и направление) маршрута..

Например, линия действия вектора скорости может

быть 30 ° от горизонтали. Поэтому мы знаем, в каком направлении движется объект.

Тем не менее, это по-прежнему не определяет направление поездки, удаляется ли она от нас или приближается к нам. Поэтому мы также указываем направление, в котором вектор действует через стрелку.

Сила, ускорение и пройденное расстояние также являются векторами. Например, утверждение о том, что машина прошла 10 метров, не указывает, в каком направлении она двигалась. Чтобы полностью указать движение, также необходимо указать направление и направление движения..

Сила также является вектором, потому что если вы притягиваете объект к себе, он приближается к вам, и если вы отталкиваете объект от себя. Таким образом, сила имеет направление и смысл, и, следовательно, это вектор.

пример

В качестве примеров информации, которую предоставляет вектор, мы имеем следующее:

Поиск золотой сумки

Предположим, учитель говорит вам: «Мешок с золотом находится вне классной комнаты, чтобы найти его, двигайтесь на 20 метров». Это заявление наверняка заинтересует вас, однако в декларации недостаточно информации, чтобы найти золотую сумку.

Смещение, необходимое для нахождения золотого мешка, не было полностью описано. С другой стороны, предположим, что ваш учитель говорит вам: «Мешок с золотом находится за пределами классной комнаты, чтобы найти его движущимся от центра двери класса 20 метров в направлении 30 ° к западу от севера»..

Это утверждение теперь дает полное описание вектора смещения, в котором перечислены величина (20 метров) и направление (30 ° к западу от севера) относительно исходной или исходной позиции (центр двери класса). ).

Векторные величины не полностью описаны, если не указаны и величина, и направление.

Смещение автомобиля

Когда мы движемся в машине, мы используем разные векторы. Эти векторы появляются каждый раз, когда мы меняем скорость.

Когда мы ускоряемся, чтобы обогнать другой автомобиль, мы добавляем переменные направления и скорости, которые составляют новый вектор.

С другой стороны, когда мы хотим уменьшить скорость, мы вычитаем векторы, соответствующие указанному замедлению.

В другом смысле, когда мы поворачиваем назад, не меняя скорости, мы изменяем смысл на вектор, возникающий при движении автомобиля..

Открыть дверь

Когда мы открываем дверь, мы используем несколько векторов. Сначала мы должны вывести силу в заданном направлении, чтобы повернуть ручку двери, затем мы должны толкнуть дверь в заданном направлении, печатая силу.

Эти значения силы и направления соответствуют векторам, которые используются для открытия двери. Процесс закрытия двери будет генерировать новый вектор, в котором его значение будет отрицательным по сравнению с тем, которое было дано первоначально для его открытия..

Переместить коробку

Когда мы хотим толкнуть очень тяжелый ящик, мы должны приложить усилие к его боковой поверхности. Это усилие должно быть приложено в одном направлении, чтобы коробка могла двигаться.

В этом случае вектор будет результатом комбинации силы и направления, примененного для перемещения окна..

Если сила не используется для толкания коробки, а для ее вертикального подъема, появится новый вектор.

Этот вектор будет состоять из вертикальной оси, на которой поднят ящик, и силы, приложенной для его подъема..

Переместить шахматную плитку

Как и в предыдущем примере, шахматную фишку можно перемещать по поверхности стола - в заданном направлении и, применяя определенную силу, - менять свою позицию на доске, генерируя вектор.

Его также можно снять с доски, создав новый вектор по вертикали..

Нажмите кнопку

Бото будет нажиматься только в одном направлении, заданном той же системой, в которой находится кнопка.

Чтобы нажать эту кнопку, необходимо приложить усилие пальцем. Из упражнения этого движения, вектор приведет к.

Играть в бильярд

Действие удара по бильярдному шару деревянным кием немедленно приводит к вектору, поскольку он имеет эффект двух величин: силы и направления.

Сила будет приложена к бильярдному шару, чтобы переместить его в определенном направлении. Бильярдный шар на столе будет иметь заранее установленный смысл, который будет зависеть от решения игрока.

Вытащить игрушечную машинку

Когда ребенок берет свою игрушечную машинку и тянет ее на веревке, или просто манипулирует ею руками, он генерирует множество векторов.

Каждый раз, когда ребенок меняет скорость или направление движения автомобиля, он создает новый вектор.

В этом случае переменные вектора будут состоять из энергии, которую ребенок прикладывает к машине, и направления, в котором он хочет ее двигать..

Представление векторов

Векторные величины часто представлены масштабированными векторными диаграммами.

Векторные диаграммы представляют вектор с помощью стрелки, нарисованной для масштабирования в определенном направлении. Соответствующая векторная диаграмма должна иметь несколько характеристик:

• Масштаб четко указан.
• Стрелка вектора рисуется (со стрелкой) в определенном направлении. Векторная стрелка имеет голову и хвост.
• Величина и направление вектора четко обозначены.

Адрес вектора

Векторы могут быть направлены на восток, запад, юг и север. Но некоторые векторы направлены на северо-восток (под углом 45 °). Таким образом, существует явная необходимость определения направления вектора, который не зависит от севера, юга, востока или запада..

Существует множество соглашений для описания направления любого вектора, однако только два из них будут объяснены ниже..

1. Направление вектора часто выражается как угол поворота вектора вокруг его «хвоста» на восток, запад, север или юг..

Например, можно сказать, что вектор имеет адрес 40 ° к северу от запада (это означает, что вектор, указывающий на запад, повернут на 40 ° к северу) или что он имеет направление 65 ° градусов к востоку от юга (это означает, что вектор, указывающий на юг, повернул на 65 ° к востоку).

2. Направление вектора часто выражается как угол поворота в направлении вектора против часовой стрелки. Используя это соглашение, вектор с направлением 30 ° - это вектор, который был повернут на 30 ° против часовой стрелки относительно восточной стороны..

Вектор с направлением 160 ° - это вектор, повернутый на 160 ° против часовой стрелки относительно востока. Вектор с направлением 270 ° - это вектор, повернутый на 270 ° против часовой стрелки относительно востока..

Величина вектора

Величина вектора в масштабированной векторной диаграмме представлена ​​длиной стрелки. Стрелка нарисована с точной длиной в соответствии с выбранным масштабом.

Например, если вы хотите нарисовать вектор с магнитудой 20 метров, вы можете выбрать масштаб 1 см = 5 метров и нарисовать стрелку длиной 4 см..

Используя ту же шкалу (1 см = 5 метров), вектор смещения в 15 метров будет представлен векторной стрелкой длиной 3 см..

Таким же образом, вектор смещения 25 метров представлен стрелкой длиной 5 см. И наконец, вектор смещения в 18 метров представлен стрелкой длиной 3,6 см.

Другие характеристики векторов

равенство: говорят, что два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и направление. Эквивалентно они будут равны, если их координаты равны.

оппозиция: два вектора противоположны, если имеют одинаковую величину, но противоположное направление.

Paralelos: два вектора параллельны, если они имеют одинаковое направление, но не обязательно одинаковую величину, или антипараллельны, если они имеют противоположное направление, но необязательно одинаковую величину.

Векторный блок: единичным вектором является любой вектор длиной один.

Вектор ноль: нулевой вектор - это вектор с нулевой длиной. В отличие от любого другого вектора, он имеет произвольное или неопределенное направление и не может быть нормализован

ссылки

1. Jong IC, Rogers BG. Инженерная механика: статика (1991). Saunders College Publishing.
2. Ито К. Энциклопедический словарь по математике (1993). MIT Press.
3. Иванов А.Б. Энциклопедия математики (2001). прыгун.
4. Кейн Т., Левинсон Д. Динамика онлайн (1996). Саннивейл: OnLine Динамика.
5. Ланг С. Введение в линейную алгебру (1986). прыгун.
6. Нику С. Инженерные принципы в повседневной жизни для неинженеров (2016). Морган и Клэйпул.
7. Педое Д. Геометрия: комплексный курс (1988). Дувр.