Какие типы интегралов существуют?



типы интегралов что мы находим в расчете: неопределенные интегралы и определенные интегралы. Хотя определенные интегралы имеют гораздо больше применений, чем неопределенные интегралы, необходимо сначала научиться решать неопределенные интегралы.

Одним из наиболее привлекательных применений определенных интегралов является вычисление объема тела вращения.

Оба типа интегралов имеют одинаковые свойства линейности, а также методы интегрирования не зависят от типа интеграла.

Но, несмотря на то, что они очень похожи, есть главное отличие; в первом типе интеграла результат является функцией (которая не является специфической), тогда как во втором типе результат является числом.

Два основных типа интегралов

Мир интегралов очень широк, но в рамках этого мы можем выделить два основных типа интегралов, которые имеют большую применимость в повседневной жизни.

1- неопределенные интегралы

Если F '(x) = f (x) для всех x в области f, мы говорим, что F (x) является антипроизводным, примитивом или интегралом от f (x).

С другой стороны, обратите внимание, что (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), из чего следует, что интеграл функции не является уникальным, так как, давая разные значения постоянной C, мы получим разные вы первообразные.

По этой причине F (x) + C называется неопределенным интегралом от f (x), а C называется константой интегрирования, и мы записываем это следующим образом

Как мы видим, неопределенный интеграл функции f (x) является семейством функций.

Например, если вы хотите вычислить неопределенный интеграл от функции f (x) = 3x², вы должны сначала найти антипроизводное f (x).

Легко заметить, что F (x) = x³ является антипроизводным, поскольку F '(x) = 3x². Следовательно, можно сделать вывод, что

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Определенные интегралы

Пусть y = f (x) - действительная функция, непрерывная на отрезке [a, b], и пусть F (x) - антипроизводное функции f (x). Он называется определенным интегралом от f (x) между пределами a и b числом F (b) -F (a) и обозначается следующим образом

Приведенная выше формула более известна как «Основная теорема исчисления». Здесь «а» называется нижним пределом, а «б» называется верхним пределом. Как видите, определенным интегралом функции является число.

В этом случае, если вычислен определенный интеграл от f (x) = 3x² в интервале [0.3], будет получено число.

Чтобы определить это число, мы выбираем F (x) = x³ в качестве антипроизводного f (x) = 3x². Затем мы вычисляем F (3) -F (0), что дает нам результат 27-0 = 27. В заключение, определенный интеграл от f (x) в интервале [0.3] равен 27.

Можно подчеркнуть, что если выбрано G (x) = x³ + 3, то G (x) является антипроизводным f (x), отличным от F (x), но это не влияет на результат, так как G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. По этой причине в определенных интегралах константа интегрирования не появляется.

Одним из наиболее полезных приложений, которые имеет этот тип интеграла, является то, что он позволяет вычислять площадь (объем) плоской фигуры (тела вращения), устанавливать подходящие функции и пределы интегрирования (и ось вращения).

В пределах определенных интегралов мы можем найти различные расширения этого, например, линейные интегралы, поверхностные интегралы, неправильные интегралы, множественные интегралы, среди прочего, все с очень полезными приложениями в науке и технике.

ссылки

  1. Casteleiro, J.M. (2012). Легко ли интегрировать? Самоучка руководство. Мадрид: ESIC.
  2. Casteleiro, J.M. & Gómez-Alvarez, R.P. (2002). Комплексный расчет (Иллюстрированный ред.). Мадрид: ESIC Редакция.
  3. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика. Прентис Холл ПТР.
  4. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Хол.
  5. Кишан Х. (2005). Интегральное исчисление. Атлантические издатели и дистрибьюторы.
  6. Перселл, Э.Дж., Варберг Д., Ригдон С.Э. (2007). расчет (Девятое издание). Прентис Холл.