Что такое косые треугольники? (с решенными упражнениями)

косые треугольники это те треугольники, которые не являются прямоугольниками. Таким образом, треугольники таковы, что ни один из его углов не является прямым углом (его измерение составляет 90º).

Не имея прямого угла, теорема Пифагора не может быть применена к этим треугольникам.

Поэтому, чтобы узнать данные в косом треугольнике, необходимо использовать другие формулы.

Формулы, необходимые для решения косоугольного треугольника, представляют собой так называемые законы синусов и косинусов, которые будут описаны позже..

В дополнение к этим законам всегда можно использовать тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º..

Косые треугольники

Как было сказано в начале, наклонный треугольник - это такой треугольник, что ни один из его углов не составляет 90º..

Задача определения длины сторон косоугольного треугольника, а также измерения его углов называется «разрешением косоугольных треугольников»..

Важным фактом при работе с треугольниками является то, что сумма трех внутренних углов треугольника равна 180º. Это общий результат, поэтому для косых треугольников это также может быть применено.

Законы груди и косинуса

Дан треугольник ABC со сторонами длины "a", "b" и "c":

- Закон груди гласит, что a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), где A, B и C - углы, противоположные «a», «b» и «c» соответственно.

- Закон косинусов гласит: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Эквивалентно, могут использоваться следующие формулы:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) или a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Используя эти формулы, вы можете рассчитать данные треугольника под углом.

обучение

Вот некоторые упражнения, в которых вы должны найти недостающие данные данных треугольников из определенных предоставленных данных..

Первое упражнение

Учитывая треугольник ABC такой, что A = 45º, B = 60º и a = 12см, вычислите другие данные треугольника..

решение

Используя, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º, вы должны

C = 180º-45º-60º = 75º.

Три угла уже известны. Затем перейдите к использованию закона груди, чтобы вычислить две отсутствующие стороны.

Представленные уравнения: 12 / грех (45º) = b / грех (60º) = с / грех (75º).

Из первого равенства вы можете очистить «б» и получить, что

b = 12 * грех (60º) / грех (45º) = 6√6 ≈ 14,696 см.

Вы также можете очистить «с» и получить это

с = 12 * грех (75º) / грех (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16 392 см.

Второе упражнение

Учитывая, что треугольник ABC такой, что A = 60º, C = 75º и b = 10см, рассчитайте другие данные треугольника..

решение

Как и в предыдущем упражнении, B = 180º-60º-75º = 45º. Кроме того, при использовании закона груди необходимо, чтобы a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), из которого получается, что a = 10 * sin (60º) / sin (45º). = 5√6 ≈ 12,247 см и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 см.

Третье упражнение

Учитывая, что треугольник ABC такой, что a = 10см, b = 15см и C = 80º, рассчитайте другие данные треугольника.

решение

В этом упражнении известен только один угол, поэтому вы не можете начать, как в предыдущих двух упражнениях. Кроме того, закон груди не может быть применен, потому что никакое уравнение не может быть решено.

Поэтому мы приступаем к применению закона косинусов. Именно тогда

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 см,

так что с ≈ 16,51 см. Теперь, зная 3 стороны, закон груди используется, и вы получаете

10 / грех (А) = 15 / грех (В) = 16,51 см / грех (80º).

Отсюда, при очистке B получается без (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, что означает, что B ≈ 63,38º.

Теперь можно получить, что A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Четвертое упражнение

Стороны наклонного треугольника: а = 5 см, b = 3 см и с = 7 см. Рассчитать углы треугольника.

решение

Опять же, закон груди не может быть применен напрямую, так как никакое уравнение не будет служить для получения значения углов.

Используя закон косинуса, мы получаем, что c² = a² + b² - 2ab cos (C), где, когда мы очищаем, получаем, что cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и, следовательно, C = 120º.

Теперь, если вы можете применить закон груди и получить 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), где вы можете очистить B и получить это без (B) = 3 * грех (120º) / 7 = 0,371, так что B = 21,79º.

Наконец, последний угол рассчитывается с использованием A = 180º-120º-21,79º = 38,21º..

ссылки

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). геометрия (Переиздание ред.). прогресс.
2. Leake, D. (2006). треугольники (иллюстрированный ред.). Heinemann-Raintree.
3. Перес, C. D. (2006). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.
4. Ruiz, A. & Barrantes, H. (2006). геометрий. CR Technology.
5. Салливан, М. (1997). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.
6. Салливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитическая геометрия. Пирсон Образование.