Что такое тригонометрические границы? (с решенными упражнениями)

тригонометрические пределы они являются пределами функций, так что эти функции образованы тригонометрическими функциями..

Есть два определения, которые должны быть известны, чтобы понять, как выполняется вычисление тригонометрического предела..

Эти определения:

- Предел функции "f", когда "x" стремится к "b": он состоит в вычислении значения, к которому f (x) приближается, когда "x" приближается к "b", не достигая "b".

- Тригонометрические функции: тригонометрическими функциями являются функции синуса, косинуса и тангенса, обозначаемые как sin (x), cos (x) и tan (x) соответственно.

Другие тригонометрические функции получены из трех функций, упомянутых выше.

Пределы функций

Для пояснения понятия предела функции перейдем к показу нескольких примеров с простыми функциями..

- Предел f (x) = 3, когда «x» стремится к «8», равен «3», поскольку функция всегда постоянна. Независимо от того, сколько стоит «x», значение f (x) всегда будет равно «3».

- Предел f (x) = x-2, когда «x» стремится к «6», равен «4». Поскольку, когда «х» приближается к «6», то «х-2» приближается к «6-2 = 4».

- Предел g (x) = x², когда «x» стремится к «3», равен 9, поскольку, когда «x» приближается к «3», тогда «x²» приближается к «3² = 9».

Как видно из предыдущих примеров, вычисление предела состоит из оценки значения, к которому стремится функция «x», и результатом будет значение предела, хотя это верно только для непрерывных функций..

Есть ли более сложные ограничения?

Ответ - да. Приведенные выше примеры являются простейшими примерами ограничений. В книгах по расчетам основными упражнениями по пределам являются те, которые генерируют определение типа 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Эти выражения называются неопределенными, поскольку они являются математически выражениями, не имеющими смысла..

Кроме того, в зависимости от функций, входящих в исходный предел, результат, полученный при решении неопределенностей, может быть разным в каждом случае..

Примеры простых тригонометрических ограничений

Чтобы решить границы, всегда очень полезно знать графики задействованных функций. Ниже приведены графики функций синуса, косинуса и тангенса.

Некоторые примеры простых тригонометрических ограничений:

- Рассчитайте предел греха (х), когда «х» стремится к «0».

При просмотре графика вы можете видеть, что если «x» приближается к «0» (как слева, так и справа), то график синуса также приближается к «0». Следовательно, предел sin (x), когда «x» стремится к «0», равен «0»..

- Вычислить предел cos (x), когда «x» стремится к «0».

Наблюдая за косинус-графом, можно видеть, что когда «х» близок к «0», то косинус-граф близок к «1». Это подразумевает, что предел cos (x), когда «x» стремится к «0», равен «1».

Предел может существовать (быть числом), как в предыдущих примерах, но может также случиться, что он не существует, как показано в следующем примере.

- Предел tan (x), когда «x» стремится к «Π / 2» слева, равен «+ ∞», как видно на графике. С другой стороны, предел tan (x), когда «x» стремится к «-Π / 2» справа, равен «-∞».

Тождества тригонометрических границ

Два очень полезных тождества при расчете тригонометрических пределов:

- Предел «sin (x) / x», когда «x» стремится к «0», равен «1».

- Предел «(1-cos (x)) / x», когда «x» стремится к «0», равен «0».

Эти идентичности используются очень часто, когда у вас есть какая-то неопределенность.

Решенные упражнения

Решите следующие ограничения, используя идентификаторы, описанные выше.

- Вычислить предел «f (x) = sin (3x) / x», когда «x» стремится к «0».

Если функция "f" оценена в "0", будет получено определение типа 0/0. Поэтому мы должны попытаться разрешить эту неопределенность, используя описанные тождества.

Единственная разница между этим пределом и идентичностью - это число 3, которое появляется в функции синуса. Чтобы применить тождество, функцию «f (x)» необходимо переписать следующим образом: «3 * (sin (3x) / 3x)». Теперь и аргумент синуса и знаменатель равны.

Поэтому, когда «x» стремится к «0», использование идентификатора приводит к «3 * 1 = 3». Следовательно, предел f (x), когда «x» стремится к «0», равен «3».

- Вычислить предел «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», когда «x» стремится к «0».

Когда "x = 0" подставляется в g (x), получается неопределенность типа ∞-∞. Для ее решения вычитаются дроби, что дает результат "(1-cos (x)) / x".

Теперь при применении второго тригонометрического тождества мы имеем предел g (x), когда «x» стремится к «0», равно 0.

- Рассчитайте предел «h (x) = 4tan (5x) / 5x», когда «x» стремится к «0».

Опять же, если вы оцените h (x) в «0», вы получите определение типа 0/0.

Перезапись tan (5x) как sin (5x) / cos (5x) приводит к тому, что h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Использование предела 4 / cos (x), когда «x» стремится к «0», равно «4/1 = 4», и получается первая тригонометрическая идентичность, что предел h (x), когда «x» стремится «0» равно «1 * 4 = 4».

наблюдение

Тригонометрические пределы не всегда легко решить. В этой статье были показаны только основные примеры.

ссылки

1. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика. Прентис Холл ПТР.
2. Флеминг В. и Варберг Д. Э. (1989). Предварительная математика: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Хол.
3. Флеминг В. и Варберг Д. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
4. Ларсон Р. (2010). тригонометрия и алгебра (8 изд.). Cengage Learning.
5. Лил, Дж. М. и Вилория, Н. Дж. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: От редакции Venezolana C. A.
6. Перес, C. D. (2006). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.
7. Перселл, Э.Дж., Варберг Д., Ригдон С.Э. (2007). расчет (Девятое издание). Прентис Холл.
8. Saenz, J. (2005). Дифференциальное исчисление с ранними трансцендентными функциями для науки и техники (Второе издание ред.). гипотенуза.
9. Скотт, С. А. (2009). Декартова плоская геометрия, часть: аналитические коники (1907) (перепечатка ред.). Источник Молнии.
10. Салливан, М. (1997). тригонометрия и алгебра. Пирсон Образование.