Известные объяснения продуктов и упражнения решены



замечательные продукты это алгебраические операции, в которых выражаются умножения многочленов, которые не нужно решать традиционно, но с помощью определенных правил вы можете найти результаты их.

Полиномы умножаются сами по себе, поэтому они могут иметь большое количество членов и переменных. Чтобы сделать процесс короче, используются правила замечательных продуктов, которые позволяют производить умножения без необходимости переходить к терминологии..

индекс

  • 1 Известные продукты и примеры
    • 1.1 Биномиальный квадрат
    • 1.2 Произведение сопряженных биномов
    • 1.3 Произведение двух биномов с общим термином
    • 1.4 Полиномиальный квадрат
    • 1.5 Биномиальный куб
    • 1.6 Ведро с триномом
  • 2 упражнения для замечательных продуктов
    • 2.1 Упражнение 1
    • 2.2 Упражнение 2
  • 3 Ссылки

Известные продукты и примеры

Каждый замечательный продукт представляет собой формулу, которая получается в результате факторизации, состоящей из полиномов различных терминов, таких как биномы или триномы, которые называются факторами..

Факторы являются основой власти и имеют показатель степени. Когда множители множатся, показатели должны быть добавлены.

Существует несколько замечательных формул продуктов, некоторые из которых используются в большей степени, чем другие, в зависимости от полиномов, и они следующие:

Биномиальный квадрат

Это умножение бинома само по себе, выраженное в форме силы, где термины складываются или вычитаются:

а. Бином суммы от квадрата: равно квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение слагаемых, плюс квадрат второго слагаемого. Это выражается следующим образом:

(а + б)2 = (a + b) * (а + б).

На следующем рисунке показано, как продукт разрабатывается в соответствии с вышеупомянутым правилом. Результат называется триномом идеального квадрата.

Пример 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Пример 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4а * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

б. Бином от вычитания в квадрате: это же правило применимо к биному суммы, только в этом случае второе слагаемое является отрицательным. Его формула следующая:

(а - б)2 = [(a) + (- b)]2

(а - б)2 = а2 +2-й * (-b) + (-b)2

(а - б)2  = а2 - 2ab + b2.

Пример 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Произведение сопряженных биномов

Два бинома сопряжены, когда вторые слагаемые каждого имеют разные знаки, то есть первое слагаемое положительное, а второе отрицательное или наоборот. Решите, подняв каждый квадрат мономии и вычтите. Его формула следующая:

(а + б) * (а - б)

На следующем рисунке показано произведение двух сопряженных биномов, где наблюдается, что результатом является разность квадратов.

Пример 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Произведение двух биномов с общим термином

Это один из самых сложных и мало используемых замечательных продуктов, потому что это умножение двух биномов, имеющих общий термин. Правило указывает на следующее:

  • Квадрат общего термина.
  • Плюс добавьте термины, которые не являются общими, а затем умножьте их на общий термин.
  • Плюс сумма умножения терминов, которые не являются общими.

Он представлен в формуле: (х + а) * (х + б), и он разработан, как показано на рисунке. Результат - квадратный трином, не идеальный.

(х + 6) * (х + 9) = х2 + (6 + 9) * х + (6 * 9)

(х + 6) * (х + 9) = х2 + 15x + 54.

Существует вероятность того, что второе слагаемое (другое слагаемое) является отрицательным, и его формула имеет следующий вид: (x + a) * (х - б).

Пример 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Также может быть так, что оба разных термина отрицательны. Его формула будет: (х - а) * (х - б).

Пример 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3б) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33б + 30.

Квадратный полином

В этом случае существует более двух терминов, и для их развития каждый квадрат возводится в квадрат и складывается с двойным умножением одного термина на другой; его формула: (+ B + C)2 и результатом операции является триномиальный квадрат.

Пример 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3х)2 + (2y)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Биномиал к кубу

Это замечательный сложный продукт. Чтобы развить его, умножьте бином на его квадрат следующим образом:

а. Для бинома к кубу суммы:

  • Куб первого слагаемого плюс тройка квадрата первого слагаемого ко второму.
  • Плюс тройной первый член, за второй квадрат.
  • Плюс куб второго семестра.

(а + б)3 = (a + b) * (а + б)2

(а + б)3 = (a + b) * (а2 + 2ab + b2)

(а + б)3 = а3 + 2-й2b + ab2 + ба2 + 2ab2 + б3

(а + б)3 = а3 + 3-й2б + 3аб2 + б3.

Пример 1

(+ 3)3 = а3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(3)2 + (3)3

(+ 3)3 = а3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(9) + 27

(+ 3)3 = а3 + 9 а2 + 27а + 27.

б. Для бинома к кубу вычитания:

  • Куб первого слагаемого, минус тройка квадрата первого слагаемого ко второму.
  • Плюс тройной первый член, за второй квадрат.
  • Меньше куба второго слагаемого.

(а - б)3 = (а - б) * (а - б)2

(а - б)3 = (а - б) * (а2 - 2ab + b2)

(а - б)3 = а3 - 2-й2b + ab2 - ба2 + 2ab2 - б3

(а - б)3 = в3 - 3-й2б + 3аб2 - б3.

Пример 2

(б - 5)3 = б3 + 3 (б)2*(-5) + 3 (б)*(-5)2 + (-5)3

(б - 5)3 = б3 + 3 (б)2*(-5) + 3 (б)*(25) -125

(б - 5)3 = б3 - 15b2 +75b - 125.

Ведро с триномом

Это развивается, умножая это на его квадрат. Это замечательный продукт, очень обширный, потому что к кубу подняты три условия, плюс три раза каждый член в квадрате, умноженный на каждое из этих терминов, плюс шесть раз произведение трех терминов. Видно лучше:

(а + б + в)3 = (a + b + c) * (а + б + в)2

(а + б + в)3 = (a + b + c) * (а2 + б2 + с2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(а + б + в)3 = A3 + б3 + с3 + 3-й2б + 3аб2 + 3-й2с + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Пример 1

Решенные упражнения замечательных продуктов

Упражнение 1

Разработайте следующий бином для куба: (4x - 6)3.

решение

Напоминая, что бином для куба равен первому члену, возведенному в куб, за вычетом тройки квадратов первого члена ко второму; плюс тройка первого слагаемого со вторым квадратом, минус куб второго слагаемого.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Упражнение 2

Разработайте следующий бином: (x + 3) (x + 8).

решение

Существует бином, где есть общий термин, который является х, а второй член является положительным. Для его разработки вам нужно только возвести в квадрат общий термин плюс сумму не общих терминов (3 и 8), а затем умножить их на общий термин плюс сумму умножения не общих терминов.

(х + 3) (х + 8) = х2 + (3 + 8) х + (3*8)

(х + 3) (х + 8) = х2 + 11x + 24.

ссылки

  1. Ангел А.Р. (2007). Элементарная алгебра. Пирсон Образование,.
  2. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
  3. Das, S. (s.f.). Математика Плюс 8. Великобритания: Ратна Сагар.
  4. Джером Э. Кауфманн, К. Л. (2011). Элементарная и промежуточная алгебра: комбинированный подход. Флорида: Cengage Learning.
  5. Перес, C. D. (2010). Пирсон Образование.