Методы и примеры мультипликативного принципа счета



мультипликативный принцип это метод, используемый для решения проблем подсчета, чтобы найти решение без необходимости перечисления его элементов. Он также известен как фундаментальный принцип комбинаторного анализа; основан на последовательном умножении, чтобы определить, как событие может произойти.

Этот принцип устанавливает, что если решение1) может быть принято n способов и другое решение (d2) может быть получено m способами - общее количество способов принятия решений.1 и д2 будет равно кратному n * м. По принципу каждое решение принимается одно за другим: количество путей = N1 * N2... * Nх пути.

индекс

  • 1 Примеры
    • 1.1 Пример 1
    • 1.2 Пример 2
  • 2 Методы подсчета
    • 2.1 Принцип сложения
    • 2.2 Принцип перестановки
    • 2.3 Принцип комбинации
  • 3 упражнения выполнены
    • 3.1 Упражнение 1
    • 3.2 Упражнение 2
  • 4 Ссылки

примеров

Пример 1

Паула планирует пойти в кино со своими друзьями, и чтобы выбрать одежду, которую она будет носить, я разделила 3 ​​блузки и 2 юбки. Сколько способов можно одеть Пауле??

решение

В этом случае Паула должна принять два решения:

d1 = Выберите между 3 блузками = n

d2 = Выберите между 2 юбками = м

Таким образом, Паула * м решения или разные способы одевания.

N * м = 3* 2 = 6 решений.

Мультипликативный принцип исходит из техники древовидной диаграммы, которая представляет собой диаграмму, которая связывает все возможные результаты, так что каждый из них может встречаться конечное число раз..

Пример 2

Марио очень хотел пить, поэтому он пошел в пекарню, чтобы купить сок. Луис отвечает ему и говорит, что у него есть два размера: большой и маленький; и четыре вкуса: яблоко, апельсин, лимон и виноград. Сколько способов Марио может выбрать сок?

решение

На диаграмме можно заметить, что у Марио есть 8 различных способов выбора сока и что, как и в мультипликативном принципе, этот результат получается умножением n*м. Разница лишь в том, что по этой схеме вы можете узнать, как Марио выбирает сок.

С другой стороны, когда число возможных результатов очень велико, более практично использовать мультипликативный принцип..

Методы подсчета

Методы подсчета - это методы, используемые для прямого подсчета, и, таким образом, известно количество возможных схем, которые могут иметь элементы данного набора. Эти методы основаны на нескольких принципах:

Принцип сложения

Этот принцип гласит, что, если два события m и n не могут происходить одновременно, число способов, которым может произойти первое или второе событие, будет суммой m + n:

Количество форм = m + n ... + x различных форм.

пример

Антонио хочет отправиться в путешествие, но не решает, в какой пункт назначения; в Южном туристическом агентстве вам предложат продвижение в Нью-Йорк или Лас-Вегас, а Восточное туристическое агентство рекомендует вам отправиться во Францию, Италию или Испанию. Сколько альтернативных вариантов путешествия предлагает Антонио?

решение

С Южным туристическим агентством у Антонио есть 2 альтернативы (Нью-Йорк или Лас-Вегас), а у Восточного туристического агентства есть 3 варианта (Франция, Италия или Испания). Количество различных альтернатив:

Количество альтернатив = m + n = 2 + 3 = 5 альтернатив.

Принцип перестановки

Речь идет о заказе конкретно всех или некоторых элементов, которые составляют набор, чтобы облегчить подсчет всех возможных договоренностей, которые могут быть сделаны с элементами.

Количество перестановок n различных элементов, взятых одновременно, представляется как:

NPN = n!

пример

Четверо друзей хотят сфотографироваться и узнать, сколько разных форм можно заказать.

решение

Вы хотите знать набор всех возможных способов, которыми могут быть размещены 4 человека, чтобы сделать снимок. Итак, вы должны:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 разных способа.

Если количество перестановок из n доступных элементов берется частями набора, состоящего из r элементов, оно представляется как:

NPг = п! ÷ (n - r)!

пример

В классной комнате 10 позиций. Если в классе учатся 4 ученика, во сколько разных способов они могут занимать должности?

решение

Общее количество наборов стульев равно 10, и из них будет использовано только 4. Данная формула применяется для определения количества перестановок:

NPр = п! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 способов заполнения постов.

Есть случаи, когда некоторые из доступных элементов набора повторяются (они одинаковы). Чтобы рассчитать количество договоренностей, берущих все элементы одновременно, используется следующая формула:

NPр = п! ÷ п1!* N2!... нр!

пример

Сколько разных слов из четырех букв можно составить из слова «волк»?

решение

В этом случае у нас есть 4 элемента (буквы), два из которых абсолютно одинаковы. Применяя данную формулу, мы знаем, сколько разных слов:

NPр = п! ÷ п1!* N2!... нр!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 разных слов.

Принцип комбинации

Речь идет об исправлении всех или некоторых элементов, которые образуют набор без определенного порядка. Например, если у вас есть массив XYZ, он будет идентичен массивам ZXY, YZX, ZYX и другим; это потому, что, несмотря на то, что они не находятся в одинаковом порядке, элементы каждой договоренности одинаковы.

Когда некоторые элементы (r) из набора (n) взяты, принцип объединения задается следующей формулой:

NСг = п! ÷ (n - r)! R!

пример

В магазине продаются 5 разных видов шоколада. Сколько разных способов вы можете выбрать 4 шоколада?

решение

В этом случае вам нужно выбрать 4 шоколада из 5 продаваемых в магазине. Порядок, в котором они выбраны, не имеет значения, и, кроме того, тип шоколада может быть выбран более двух раз. Применяя формулу, вы должны:

NСр = п! ÷ (n - r)! R!

5С4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5С4 = 5! ÷ (1)! 4!

5С4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5С4 = 120 ÷ 24 = 5 разных способов выбора 4 конфет.

Когда все элементы (r) множества (n) взяты, принцип комбинирования дается следующей формулой:

NСn = N!

Решенные упражнения

Упражнение 1

У вас есть бейсбольная команда с 14 членами. Во сколько способов вы можете назначить 5 позиций для игры??

решение

Набор состоит из 14 элементов, и вы хотите назначить 5 конкретных позиций; то есть этот порядок имеет значение. Формула перестановки применяется там, где n доступных элементов занято частями набора, образованного r.

NPг = п! ÷ (n - r)!

Где n = 14 и r = 5. Он подставляется в формулу:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 способов назначить 9 игровых позиций.

Упражнение 2

Если семья из 9 человек отправляется в поездку и покупает билеты с последовательными местами, сколько раз они могут сидеть?

решение

Это около 9 элементов, которые будут занимать 9 мест подряд.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 разных способов сидения.

ссылки

  1. Хопкинс Б. (2009). Ресурсы для преподавания дискретной математики: классные проекты, исторические модули и статьи.
  2. Джонсонбо, Р. (2005). Дискретная математика Пирсон Образование,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Конечное и дискретное решение математических задач. Редакция научно-образовательной ассоциации.
  4. Padró, F.C. (2001). Дискретная математика Politec. Каталонии.
  5. Штейнер Э. (2005). Математика для прикладных наук. Реверте.