Математическая логика происхождения, что изучает, типы



математическая логика или символическая логика - это математический язык, который включает в себя необходимые инструменты, с помощью которых математическое обоснование может быть подтверждено или опровергнуто.

Общеизвестно, что в математике нет двусмысленностей. Учитывая математический аргумент, это верно или просто нет. Оно не может быть ложным и верным одновременно.

Особый аспект математики заключается в том, что у нее есть формальный и строгий язык, с помощью которого можно определить обоснованность рассуждений. Что делает определенные рассуждения или математические доказательства неопровержимыми? Вот что такое математическая логика.

Таким образом, логика - это дисциплина математики, которая отвечает за изучение математических рассуждений и демонстраций и предоставляет инструменты, позволяющие сделать правильный вывод из предыдущих утверждений или предложений..

Для этого используются аксиомы и другие математические аспекты, которые будут разработаны позже..

индекс

  • 1 Происхождение и история
    • 1.1 Аристотель
  • 2 Что математическая логика изучает?
    • 2.1 Предложения
    • 2.2 Таблицы правды
  • 3 типа математической логики
    • 3.1 Районы
  • 4 Ссылки

Происхождение и история

Точные даты в отношении многих аспектов математической логики являются неопределенными. Тем не менее, большинство библиографий по этому вопросу прослеживает происхождение этого до древней Греции.

Аристотель

Начало строгого подхода к логике приписывают, в частности, Аристотелю, который написал ряд работ по логике, которые позднее были собраны и разработаны разными философами и учеными вплоть до средневековья. Это можно рассматривать как «старую логику».

Затем, в так называемую современную эпоху Лейбница, движимый глубоким желанием установить универсальный язык для математического мышления, и другие математики, такие как Готтлоб Фреге и Джузеппе Пеано, оказали значительное влияние на развитие математической логики с большим вкладом среди них аксиомы Пеано, которые формулируют обязательные свойства натуральных чисел.

Математики Джордж Буль и Георг Кантор также оказали большое влияние в это время, внеся важный вклад в теорию множеств и таблицы истинности, выделив, среди прочего, Булеву алгебру (Джорджа Буля) и Аксиому выбора. (Джордж Кантор).

Есть также Август Де Морган с известными законами Моргана, которые предусматривают отрицания, союзы, дизъюнкции и условные предложения, ключи для развития символической логики, и Джон Венн со знаменитыми диаграммами Венна.

В 20 веке, приблизительно между 1910 и 1913 годами, Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выделяются своей публикацией Principia Mathematica, набор книг, который собирает, разрабатывает и постулирует ряд аксиом и логических результатов.

Какая математическая логика изучает?

предложения

Математическая логика начинается с изучения предложений. Предложение - это утверждение, которое без какой-либо двусмысленности можно сказать, правда это или нет. Ниже приведены примеры предложений:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • В 1930 году в Европе произошло землетрясение.

Первое - это истинное суждение, а второе - ложное. Третий, хотя возможно, что человек, который его читает, не знает, правда это или нет, это утверждение, которое можно проверить и определить, действительно ли это произошло или нет..

Ниже приведены примеры выражений, которые не являются суждениями:

  • Она блондинка.
  • 2x = 6.
  • Давай играть!
  • Тебе нравится кино?

В первом предложении не указано, кем является «она», поэтому ничего нельзя подтвердить. Во втором предложении не указано, что обозначено буквой «х». Если бы вместо этого было сказано, что 2x = 6 для некоторого натурального числа x, в этом случае оно будет соответствовать предложению, фактически истинному, поскольку для x = 3 оно выполнено.

Последние два утверждения не соответствуют суждению, поскольку нет способа отрицать или подтвердить их.

Два или более предложений могут быть объединены (или соединены) с использованием известных соединительных соединителей (или соединителей). Это:

  • Отказ: «Дождя нет».
  • Разъединение: «Луиза купила белую или серую сумку».
  • Соединение: "42= 16 и 2 × 5 = 10 ".
  • Условно: «Если идет дождь, то я не пойду в спортзал сегодня днем».
  • Biconditional: «Я иду в спортзал сегодня днем, и только тогда, когда не идет дождь».

Предложение, которое не обладает ни одним из предыдущих соединительных, называется простым предложением (или атомарным). Например, «2 меньше 4», это простое предложение. Предложения, которые имеют некоторую связность, называются составными предложениями, например, «1 + 3 = 4, а 4 - четное число».

Утверждения, сделанные с помощью предложений, обычно длинные, поэтому писать их всегда утомительно, как мы уже видели. По этой причине используется символический язык. Предложения обычно представлены заглавными буквами, такими как P, Q, R, S, и т.д. И символическая связка выглядит следующим образом:

Так что

обоюдный условного предложения

это предложение

И контрапозиции (или противоположно) предложения

это предложение

Таблицы правды

Другая важная концепция в логике - это таблица истинности. Значения истинности предложения - это две возможности, которые доступны для предложения: истина (которая будет обозначаться как V, и ее истинная ценность будет называться V), или ложь (которая будет обозначаться через F, и ее значение будет сказано это действительно F).

Значение истинности составного суждения зависит исключительно от истинных значений простых высказываний, которые появляются в нем..

Чтобы работать более широко, мы не будем рассматривать конкретные предложения, но пропозициональные переменные p, q, r, s, и т.д., которые будут представлять любые предложения.

С этими переменными и логическими связями известные пропозициональные формулы формируются так же, как составные операторы.

Если каждая из переменных, которые фигурируют в формуле высказывания, заменяется предложением, получается составное предложение.

Ниже приведены таблицы истинности для логических связок:

Существуют пропозициональные формулы, которые получают только значение V в своей таблице истинности, то есть последний столбец их таблицы истинности имеет только значение V. Этот тип формул известен как тавтология. Например:

Ниже приведена таблица истинности формулы

Говорят, что формула α логически подразумевает другую формулу β, если α истинно каждый раз, когда β истинно. То есть в таблице истинности α и β строки, где α имеет V, β также имеют V. Интерес представляют только строки, в которых α имеет значение V. Обозначение для логической импликации следующее :

В следующей таблице приведены свойства логического значения:

Говорят, что две пропозициональные формулы логически эквивалентны, если их таблицы истинности идентичны. Следующие обозначения используются для выражения логической эквивалентности:

В следующих таблицах обобщены свойства логической эквивалентности:

Типы математической логики

Существуют различные типы логики, особенно если принять во внимание прагматическую или неформальную логику, которая указывает на философию, среди других областей.

Что касается математики, типы логики могут быть обобщены следующим образом:

  • Формальная или аристотелевская логика (Ancient Logic).
  • Логика высказываний: отвечает за изучение всего, что связано с обоснованностью аргументов и предложений с использованием формального языка, а также символического.
  • Символическая логика: сфокусирована на изучении множеств и их свойств, также на формальном и символическом языке, и тесно связана с логикой высказываний.
  • Комбинаторная логика: одна из самых последних разработанных, включает результаты, которые могут быть разработаны алгоритмами.
  • Логическое программирование: используется в различных пакетах и ​​языках программирования.

районы

Среди областей, которые используют математическую логику незаменимым образом при разработке своих рассуждений и аргументов, они выделяют философию, теорию множеств, теорию чисел, конструктивную алгебраическую математику и языки программирования..

ссылки

  1. Aylwin, C. U. (2011). Логика, множества и числа. Мерида - Венесуэла: Издательский совет, Университет Лос-Андес.
  2. Баррантес Х., Диас П., Мурильо М. и Сото А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
  3. Кастанеда, С. (2016). Базовый курс по теории чисел. Университет Севера.
  4. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Как разработать математические логические рассуждения. Университет Редакция.
  5. Сарагоса, A.C. (s.f.). Теория чисел. Редакция Vision Books.