Свойства, типы и примеры гомотетии

homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ', являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.

Тогда гомотетия - это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..

индекс

• 1 гомотеция
• 2 свойства
• 3 типа
  • 3.1 Прямая гомотетия
  • 3.2 Обратная гомотетия
• 4 Композиция
• 5 примеров
  • 5.1 Первый пример
  • 5.2 Второй пример
• 6 Ссылки

homotecia

Гомотетия - это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..

Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:

Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..

С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..

свойства

Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:

- Центр гомотетии (O) - единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.

- Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.

- Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.

- Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A'B ', так что AB будет параллельным A'B', а k будет:

- Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла - это угол, имеющий одинаковую амплитуду..

С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:

- Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.

- Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).

- Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180^или.

- Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.

- Да 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Да -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Если к < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

тип

Гомотетия также может быть классифицирована на два типа, в зависимости от значения ее отношения (k):

Прямая гомотетия

Это происходит, если постоянная k> 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:

Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.

Обратный гомотетик

Бывает, если постоянная к < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Коэффициент пропорциональности или коэффициента сходства между гомотетическими обратными числами всегда будет отрицательным.

состав

Когда несколько движений выполняются последовательно до получения фигуры, равной оригиналу, происходит композиция движений. Композиция из нескольких движений также является движением.

Композиция между двумя гомотециями приводит к новой гомотеции; то есть у нас есть гомотетический продукт, в котором центр будет выровнен с центром двух исходных преобразований, а отношение (k) является произведением двух причин.

Таким образом, в составе двух H гомотексов₁(О₁, К₁) и Н₂(О₂, К₂), умножая ваши причины: k₁ х к₂ = 1 приведет к гомотетии отношения к₃ = К₁ х к₂. Центр этой новой гомотетии (O₃) будет расположен на прямой₁ О₂.

Гомотетия соответствует плоскому и необратимому изменению; если применяются две гомотеции, которые имеют одинаковый центр и отношение, но с другим знаком, будет получена исходная фигура.

примеров

Первый пример

Примените гомотетию к заданному центральному многоугольнику (O), расположенному в 5 см от точки A и с отношением k = 0,7.

решение

Любая точка выбирается в качестве центра гомотетии, и из этого луча рисуются вершины фигуры:

Расстояние от центра (O) до точки A составляет OA = 5; при этом вы можете определить расстояние до одной из гомотетических точек (OA '), зная также, что k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Процесс может быть выполнен для каждой вершины, или вы также можете нарисовать гомотетический многоугольник, помня, что два многоугольника имеют параллельные стороны:

Наконец, преобразование выглядит так:

Второй пример

Примените гомотетию к заданному центральному многоугольнику (O), расположенному на расстоянии 8,5 см от точки C, у которого отношение y k = -2.

решение

Расстояние от центра (O) до точки C составляет OC = 8,5; с помощью этих данных можно определить расстояние до одной из гомотетических точек (OC '), зная также, что k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

После отрисовки отрезков вершин преобразованного многоугольника имеем, что начальные точки и их гомотетики расположены на противоположных концах относительно центра:

ссылки

1. Альваро Рендон, A.R. (2004). Технический чертеж: тетрадь деятельности.
2. Антонио Альварес де ла Роса, J.L. (2002). Сродство, гомология и гомотетия.
3. Baer R. (2012). Линейная алгебра и проективная геометрия. Курьерская Корпорация.
4. Hebert, Y. (1980). Общая математика, вероятности и статистика.
5. Мезер, Б. Э. (2014). Фундаментальные понятия геометрии. Курьерская Корпорация.
6. Нахбин Л. (1980). Введение в алгебру. Реверте.