Методы и примеры факторизации

факторизация это метод, посредством которого многочлен выражается в форме умножения факторов, которые могут быть числами, буквами или и тем, и другим. Чтобы разложить факторы, которые являются общими для терминов, сгруппированы, и таким образом многочлен разлагается на несколько многочленов..

Таким образом, когда множители умножают друг друга, результатом является исходный многочлен. Факторинг является очень полезным методом, когда у вас есть алгебраические выражения, потому что он может быть преобразован в умножение нескольких простых терминов; Например: 2а² + 2ab = 2a _* (а + б).

Есть случаи, когда многочлен не может быть разложен, потому что между его членами нет общего фактора; таким образом, эти алгебраические выражения делятся только между собой и на 1. Например: x + y + z.

В алгебраическом выражении общий множитель является наибольшим общим делителем членов, составляющих его.

индекс

• 1 Факторинговые методы
  • 1.1 Факторинг по общему фактору
  • 1.2 Пример 1
  • 1.3 Пример 2
  • 1.4 Факторинг по группам
  • 1.5 Пример 1
  • 1.6 Факторинг при проверке
  • 1.7 Пример 1
  • 1.8 Пример 2
  • 1.9 Факторинг с замечательными продуктами
  • 1.10 Пример 1
  • 1.11 Пример 2
  • 1.12 Пример 3
  • 1.13 Факторинг с правилом Руффини
  • 1.14 Пример 1
• 2 Ссылки

Методы факторинга

Существует несколько методов факторинга, которые применяются в зависимости от конкретного случая. Вот некоторые из них:

Факторинг по общему фактору

В этом методе идентифицированы те факторы, которые являются общими; то есть те, которые повторяются в терминах выражения. Затем применяется свойство распределения, максимальный общий делитель удаляется и факторизация завершается..

Другими словами, общий фактор выражения идентифицирован, и каждый термин разделен между ним; результирующие условия будут умножены на наибольший общий множитель, чтобы выразить факторизацию.

Пример 1

Фактор (б²х) + (б²у).

решение

Во-первых, есть общий фактор каждого слагаемого, который в данном случае², и затем термины делятся между общим фактором следующим образом:

(б²х) / б² = х

(б²у) / б² = у.

Факторизация выражается умножением общего множителя на результирующие условия:

(б²х) + (б²у) = б² (х + у).

Пример 2

Факторизовать (2а)²б³) + (3ab²).

решение

В этом случае у нас есть два фактора, которые повторяются в каждом термине: «а» и «б», и которые возводятся в степень. Чтобы учесть их, сначала два термина разбиты на длинные формы:

2_*в_*в_*б_*б_*б + 3а_*б_*б

Можно заметить, что фактор «а» повторяется только один раз во втором члене, а фактор «b» повторяется в нем дважды; поэтому в первом члене есть только 2, фактор «а» и «б»; в то время как во втором семестре есть только 3.

Поэтому мы записываем времена, когда «a» и «b» повторяются и умножаются на факторы, оставшиеся от каждого слагаемого, как показано на рисунке:

Факторизация по группам

Поскольку не во всех случаях максимальный общий делитель многочлена четко выражен, необходимо предпринять другие шаги, чтобы иметь возможность переписать многочлен и, таким образом, вычислить множитель.

Один из этих шагов состоит в том, чтобы сгруппировать члены многочлена в несколько групп, а затем использовать метод общего множителя..

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

решение

Есть четыре фактора, из которых два являются общими: в первом члене это «с», а во втором - «d». Таким образом, два термина сгруппированы и разделены:

(ac + bc) + (ad + bd).

Теперь можно применить метод общего множителя, разделив каждый член на его общий множитель, а затем умножив этот общий множитель на итоговые термины, например:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Теперь вы получаете бином, общий для обоих терминов. Фактор умножается на оставшиеся факторы; Таким образом, вы должны:

ac + bc + ad + bd =  (с + д) _* (а + б).

Факторизация путем проверки

Этот метод используется для разложения квадратичных полиномов, также называемых триномами; то есть те, которые структурированы как топор² ± bx + c, где значение «а» отличается от 1. Этот метод также используется, когда трином имеет форму x² ± bx + c и значение «а» = 1.

Пример 1

Фактор х² + 5x + 6.

решение

У вас есть квадратичный трехчлен вида х² ± bx + c. Чтобы сначала вычислить его, нужно найти два числа, которые при умножении дают в результате значение «с» (то есть 6), а его сумма равна коэффициенту «b», равному 5. Эти числа равны 2 и 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Таким образом, выражение упрощается так:

(х² + 2x) + (3x + 6)

Каждый термин учтен:

- Для (х² + 2x) извлекается общий термин: x (x + 2)

- Для (3x + 6) = 3 (x + 2)

Таким образом, выражение остается:

х (х + 2) + 3 (х + 2).

Поскольку у вас есть общий бином, чтобы уменьшить выражение, умножьте его на лишние термины, и вы должны:

х² + 5x + 6 = (x + 2) _* (х + 3).

Пример 2

Фактор 4а² + 12a + 9 = 0.

решение

У вас есть квадратичный трехчлен в виде топора² ± bx + c и все это множитель умножается на коэффициент x²; в этом случае 4.

4-й² + 12a +9 = 0

4-й² (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 а² + 12а (4) + 36 = 0

4² в² + 12а (4) + 36 = 0

Теперь мы должны найти два числа, которые при умножении вместе дают в результате значение «с» (которое составляет 36), и что при сложении вместе получим коэффициент термина «а», который равен 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Таким образом, выражение переписывается с учетом того, что² в² = 4а _* 4A. Поэтому распределительное свойство применяется для каждого термина:

(4а + 6) _* (4а + 6).

Наконец, выражение делится на коэффициент²; то есть 4:

(4а + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Выражение выглядит следующим образом:

4-й² + 12a +9 = (2a +3) _* (2а + 3).

Факторинг с замечательными продуктами

Существуют случаи, когда для полного разложения полиномов с помощью предыдущих методов это становится очень длительным процессом..

Вот почему выражение может быть разработано с формулами замечательных продуктов, и, таким образом, процесс становится проще. Среди наиболее популярных продуктов:

- Разница двух квадратов: (² - б²) = (а - б) _* (а + б)

- Идеальный квадрат суммы:² + 2ab + b² = (a + b)²

- Совершенная площадь разницы:² - 2ab + b² = (а - б)²

- Разница двух кубов:³ - б³ = (a-b)_*(а² + ab + b²)

- Сумма двух кубов:³ - б³ = (a + b) _* (а² - ab + b²)

Пример 1

Фактор (5² - х²)

решение

В этом случае есть разница двух квадратов; поэтому применяется формула замечательного продукта:

(а² - б²) = (а - б) _* (а + б)

(5² - х²) = (5 - х) _* (5 + х)

Пример 2

Фактор 16x² + 40x + 25²

решение

В этом случае у нас есть идеальный квадрат суммы, потому что мы можем идентифицировать два члена в квадрате, а оставшийся член является результатом умножения двух на квадратный корень первого слагаемого на квадратный корень второго слагаемого..

в² + 2ab + b² = (a + b)²

Фактором считаются только квадратные корни первого и третьего членов:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Затем два результирующих члена разделяются знаком операции, и весь многочлен возводится в квадрат:

16x² + 40x + 25² = (4х + 5)².

Пример 3

Фактор 27а³ - б³

решение

Выражение представляет собой вычитание, в котором два фактора возводятся в куб. Чтобы их разложить, применяется формула заметного произведения разности кубов:

в³ - б³ = (a-b)_*(а² + ab + b²)

Таким образом, для разложения кубический корень каждого члена бинома извлекается и умножается на квадрат первого слагаемого, плюс произведение первого на второе слагаемое, плюс второе слагаемое на квадрат.

двадцать седьмой³ - б³

³√ (27а³) = 3а

³√ (-b³) = -b

двадцать седьмой³ - б³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

двадцать седьмой³ - б³ = (3a - b) _* (9а² + 3ab + b²)

Факторинг с правилом Руффини

Этот метод используется, когда у вас есть многочлен степени больше двух, чтобы упростить выражение до нескольких многочленов меньшей степени.

Пример 1

Коэффициент Q (x) = x⁴ - 9х² + 4x + 12

решение

Сначала ищите числа, которые являются делителями 12, который является независимым термином; это ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Затем x заменяется этими значениями, от самого низкого до самого высокого, и, таким образом, определяется, с каким из значений деление будет точным; то есть остальное должно быть 0:

х = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

х = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

х = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

И так для каждого делителя. В этом случае найденные факторы для х = -1 и х = 2.

Теперь применяется метод Руффини, согласно которому коэффициенты выражения будут поделены между факторами, найденными для точного деления. Полиномиальные члены упорядочены от старшего к младшему показателю степени; в случае отсутствия члена со степенью, следующей за последовательностью, вместо него ставится 0.

Коэффициенты расположены в схеме, как показано на следующем изображении.

Первый коэффициент уменьшается и умножается на делитель. В этом случае первый делитель равен -1, а результат помещается в следующий столбец. Затем значение коэффициента складывается по вертикали с тем результатом, который был получен, и результат помещается ниже. Таким образом, процесс повторяется до последнего столбца.

Затем та же самая процедура повторяется снова, но со вторым делителем (который равен 2), потому что выражение все еще может быть упрощено.

Таким образом, для каждого полученного корня полином будет иметь член (x - a), где «a» - это значение корня:

(х - (-1)) _* (х - 2) = (х + 1) _* (х - 2)

С другой стороны, эти условия должны быть умножены на остаток от правила Руффини 1: 1 и -6, которые являются факторами, которые представляют оценку. Таким образом, выражение, которое формируется: (х² + х - 6).

Получение результата факторизации полинома методом Руффини является:

х⁴ - 9х² + 4x + 12 = (x + 1) _* (х - 2) _* (х² + х - 6)

Чтобы закончить, многочлен степени 2, который появляется в предыдущем выражении, может быть переписан как (x + 3) (x-2). Следовательно, окончательная факторизация:

х⁴ - 9х² + 4x + 12 = (x + 1) _* (х - 2)_*(х + 3)_*(Х-2).

ссылки

1. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
2. J, V. (2014). Как научить детей факторингу до полинома.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Основная математика с приложениями.
4. Roelse, P. L. (1997). Линейные методы полиномиальной факторизации над конечными полями: теория и реализации. Университет Эссена.
5. Шарп Д. (1987). Кольца и Факторизация.