Полиномиальные уравнения (с решенными упражнениями)

полиномиальные уравнения являются утверждением, которое поднимает равенство двух выражений или членов, где хотя бы один из членов, составляющих каждую сторону равенства, является полиномом P (x). Эти уравнения названы в соответствии со степенью их переменных.

В общем, уравнение - это утверждение, которое устанавливает равенство двух выражений, где хотя бы в одном из них есть неизвестные величины, которые называются переменными или неизвестными. Хотя существует много типов уравнений, они обычно подразделяются на два типа: алгебраические и трансцендентные..

Полиномиальные уравнения содержат только алгебраические выражения, в которых может быть одно или несколько неизвестных, участвующих в уравнении. В соответствии с показателем степени (степени) они могут быть классифицированы на: первую степень (линейную), вторую степень (квадратичную), третью степень (кубическую), четвертую степень (квартальную), большую или равную пяти и иррациональную.

индекс

• 1 Характеристики
• 2 типа
  • 2.1 Первый класс
  • 2.2 Вторая степень
  • 2.3 Резолвер
  • 2.4 Высшая оценка
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Первое упражнение
  • 3.2 Второе упражнение
• 4 Ссылки

черты

Полиномиальные уравнения - это выражения, которые образованы равенством двух полиномов; то есть с помощью конечных сумм умножений между неизвестными значениями (переменными) и фиксированными числами (коэффициентами), где переменные могут иметь показатели степени, а их значение может быть положительным целым числом, включая ноль.

Показатели степени определяют степень или тип уравнения. Тот член выражения, который имеет наивысший показатель степени, будет представлять абсолютную степень многочлена.

Полиномиальные уравнения также известны как алгебраические уравнения, их коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами, а переменные представляют собой неизвестные числа, представленные буквой, например: «x».

Если подставить значение для переменной «x» в P (x), результат будет равен нулю (0), то говорят, что это значение удовлетворяет уравнению (это решение) и обычно называется корнем многочлена..

Когда разработано полиномиальное уравнение, вы хотите найти все корни или решения.

тип

Существует несколько типов полиномиальных уравнений, которые дифференцируются по количеству переменных, а также по степени их степени..

Таким образом, полиномиальные уравнения, где первый член является полиномом с единственным неизвестным, учитывая, что его степень может быть любым натуральным числом (n), а второй член равен нулю, можно выразить следующим образом:

в_{н *} х^N + в_{n-1 *} х^н-1 +... +_{1 *} х¹ + в_{0 *} х₀ = 0

где:

- в_N, в_н-1 и₀, они действительные коэффициенты (числа).

- в_N это отличается от нуля.

- Показатель n представляет собой положительное целое число, которое представляет степень уравнения.

- х - это переменная или неизвестная, которую нужно искать.

Абсолютная или большая степень полиномиального уравнения - это показатель большей ценности среди всех тех, которые образуют полином; таким образом, уравнения классифицируются как:

Первый класс

Уравнения полиномов первой степени, также известные как линейные уравнения, - это уравнения, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 1, а полином имеет форму P (x) = 0; и он состоит из линейного члена и независимого члена. Это написано следующим образом:

топор + б = 0.

где:

- a и b - действительные числа и a ≠ 0.

- ax - линейный член.

- б независимый термин.

Например, уравнение 13x - 18 = 4x.

Чтобы решить линейные уравнения, все члены, содержащие неизвестный x, должны быть переданы в одну сторону равенства, а те, которые не имеют, перемещены в другую сторону, чтобы очистить его и получить решение:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

х = 18 ÷ 9

х = 2.

Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение или корень, который равен x = 2.

Второй класс

Полиномиальные уравнения второй степени, также известные как квадратные уравнения, - это те, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 2, полином имеет форму P (x) = 0 и состоит из квадратичного члена один линейный и один независимый. Это выражается следующим образом:

топор² + bx + c = 0.

где:

- a, b и c - действительные числа и a ≠ 0.

- топор² является квадратичным членом, а «a» является коэффициентом квадратичного члена.

- bx - линейный член, а «b» - коэффициент линейного члена..

- с является независимым термином.

resolvente

Как правило, решение этого типа уравнений дается путем очистки х из уравнения, и оно оставляется следующим образом, который называется резольвер:

Там, (б² - 4ac) называется дискриминантом уравнения, и это выражение определяет количество решений, которые может иметь уравнение:

- Да (б² - 4ac) = 0, уравнение будет иметь одно решение, которое является двойным; то есть у вас будет два равных решения.

- Да (б² - 4ac)> 0, уравнение будет иметь два разных реальных решения.

- Да (б² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Например, у вас есть уравнение 4x² + 10x - 6 = 0, чтобы разрешить его, сначала определите термины a, b и c, а затем замените его в формуле:

а = 4

б = 10

с = -6.

Существуют случаи, когда полиномиальные уравнения второй степени не имеют трех членов, и поэтому они решаются по-разному:

- В случае, если квадратные уравнения не имеют линейного члена (то есть b = 0), уравнение будет выражено как ось² + с = 0. Чтобы решить это, очищается х² и квадратные корни применяются в каждом члене, помня, что рассматриваются два возможных признака, которые может иметь неизвестное:

топор² + с = 0.

х² = - c ÷ a

Например, 5 х² - 20 = 0.

5 х² = 20

х² = 20 ÷ 5

х = ± √4

х = ± 2

х₁ = 2.

х₂ = -2.

- Если квадратное уравнение не имеет независимого члена (т. Е. С = 0), уравнение будет выражено как ось² + bx = 0. Чтобы решить его, мы должны извлечь общий множитель неизвестного x в первом члене; поскольку уравнение равно нулю, верно, что хотя бы один из факторов будет равен 0:

топор² + bx = 0.

х (топор + б) = 0.

Таким образом, вы должны:

х = 0.

х = -б ÷ а.

Например: у вас есть уравнение 5x² + 30x = 0. Первый фактор:

5x² + 30x = 0

х (5х + 30) = 0.

Генерируются два фактора: х и (5х + 30). Считается, что одно из них будет равно нулю, а другое решение будет дано:

х₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

х = -30 ÷ 5

х₂ = -6.

Степень магистра

Полиномиальные уравнения большей степени - это те, которые идут от третьей степени и далее, которые могут быть выражены или разрешены с помощью общего полиномиального уравнения для любой степени:

в_{н *} х^N + в_{n-1 *} х^н-1 +... +_{1 *} х¹ + в_{0 *} х₀ = 0

Это используется потому, что уравнение со степенью больше двух является результатом факторизации полинома; то есть оно выражается как умножение многочленов степени один или больше, но без реальных корней.

Решение этого типа уравнений является прямым, потому что умножение двух факторов будет равно нулю, если любой из факторов равен нулю (0); следовательно, каждое из найденных полиномиальных уравнений должно быть разрешено, сопоставляя каждый из его факторов с нулем.

Например, у вас есть уравнение третьей степени (куб) х³ + х² +4x + 4 = 0. Чтобы решить эту проблему, необходимо выполнить следующие шаги:

- Термины сгруппированы:

х³ + х² +4x + 4 = 0

(х³ + х² ) + (4x + 4) = 0.

- Конечности разбиты, чтобы получить общий фактор неизвестного:

х² (х + 1) + 4 (х + 1) = 0

(х² + 4)_*(х + 1) = 0.

- Таким образом, получаются два фактора, которые должны быть равны нулю:

(х² + 4) = 0

(х + 1) = 0.

- Видно, что коэффициент (х² + 4) = 0 не будет иметь реального решения, а коэффициент (x + 1) = 0 да. Таким образом, решение является:

(х + 1) = 0

х = -1.

Решенные упражнения

Решите следующие уравнения:

Первое упражнение

(2x² + 5)_*(х - 3)_*(1 + х) = 0.

решение

В этом случае уравнение выражается в виде умножения полиномов; то есть это факторизовано. Для ее решения каждый фактор должен быть равен нулю:

- 2x² + 5 = 0, не имеет решения.

- х - 3 = 0

- х = 3.

- 1 + х = 0

- х = - 1.

Таким образом, данное уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.

Второе упражнение

х⁴ - 36 = 0.

решение

Ему был дан полином, который можно переписать как разность квадратов, чтобы прийти к более быстрому решению. Таким образом, уравнение остается:

(х² + 6)_*(х² - 6) = 0.

Чтобы найти решение уравнений, оба фактора равны нулю:

(х² + 6) = 0, не имеет решения.

(х² - 6) = 0

х² = 6

х = ± √6.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:

х = √6.

х = - √6.

ссылки

1. Andres, T. (2010). Математическая олимпиада Tresure. Springer. Нью йорк.
2. Ангел А.Р. (2007). Элементарная алгебра Пирсон Образование,.
3. Baer R. (2012). Линейная алгебра и проективная геометрия. Курьерская Корпорация.
4. Балдор А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
5. Кастаньо, Х. Ф. (2005). Математика до расчета. Университет Медельина.
6. Кристобаль Санчес, М.Р. (2000). Математическое пособие для олимпийской подготовки. Университет Жауме I.
7. Кримли Перес, М. Л. (1984). Высшая алгебра I.
8. Massara, N.C.-L. (1995). Математика 3.