Поделиться:
Историческая справка по аналитической геометрии
Исторический фон аналитической геометрии они восходят к 17 веку, когда Пьер де Ферма и Рене Декарт определили свою основную идею. Его изобретение последовало за модернизацией алгебры и алгебраической нотации Франсуа Вите.
Эта область имеет свои основы в Древней Греции, особенно в работах Аполлония и Евклида, которые оказали большое влияние в этой области математики.
Основная идея аналитической геометрии заключается в том, что отношение между двумя переменными, так что одна является функцией другой, определяет кривую.
Эту идею впервые разработал Пьер де Ферма. Благодаря этой важной структуре Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц смогли разработать расчет.
Французский философ Декарт также открыл алгебраический подход к геометрии, по-видимому, сам по себе. Работа Декарта по геометрии появляется в его знаменитой книге Речь о методе.
В этой книге указано, что компас и геометрические конструкции прямых ребер включают сложение, вычитание, умножение и квадратные корни.
Аналитическая геометрия представляет собой объединение двух важных традиций в математике: геометрия как изучение формы и арифметика и алгебра, которые имеют отношение к количеству или числам. Поэтому аналитическая геометрия - это исследование области геометрии с использованием систем координат.
история
Фон аналитической геометрии
Отношения между геометрией и алгеброй развивались на протяжении всей истории математики, хотя геометрия достигла более ранней степени зрелости.
Например, греческий математик Евклид смог организовать много результатов в своей классической книге Элементы.
Но именно древнегреческий Аполлоний Пергский предсказал развитие аналитической геометрии в своей книге. конический. Он определил конику как пересечение между конусом и плоскостью.
Используя результаты Евклида в аналогичных треугольниках и сушке кругов, он нашел отношение, заданное расстояниями от любой точки «P» коники до двух перпендикулярных линий, главной оси коника и касательной в конечной точке оси. Аполлоний использовал это соотношение для вывода фундаментальных свойств коник.
Последующее развитие систем координат в математике появилось только после того, как алгебра повзрослела благодаря исламским и индийским математикам..
До тех пор, пока геометрия Ренессанса не использовалась для обоснования решений алгебраических задач, но алгебра не могла внести большой вклад в геометрию.
Эта ситуация изменится с принятием удобного обозначения для алгебраических отношений и развитием концепции математической функции, которая теперь стала возможной.
XVI век
В конце шестнадцатого века французский математик Франсуа Виет ввел первое систематическое алгебраическое обозначение, используя буквы для представления числовых величин, как известных, так и неизвестных..
Он также разработал мощные общие методы для работы алгебраических выражений и решения алгебраических уравнений.
Благодаря этому математики не были полностью зависимы от геометрических фигур и геометрической интуиции при решении задач..
Даже некоторые математики начали отказываться от стандартного геометрического мышления, согласно которому линейные переменные длин и квадратов соответствуют областям, а кубические - объемам..
Первыми, кто сделал этот шаг, были философ и математик Рене Декарт, а также юрист и математик Пьер де Ферма.
Основы аналитической геометрии
Декарт и Ферма независимо друг от друга основали аналитическую геометрию в 1630-е годы, приняв алгебру Виете для изучения геометрического локуса..
Эти математики поняли, что алгебра была инструментом большой силы в геометрии, и изобрели то, что сегодня известно как аналитическая геометрия..
Достигнутый ими прогресс состоял в том, чтобы преодолеть Вьете, используя буквы для обозначения расстояний, которые являются переменными, а не фиксированными..
Декарт использовал уравнения для изучения геометрически определенных кривых и подчеркнул необходимость рассмотрения общих алгебро-графических кривых полиномиальных уравнений в градусах «х» и «у».
В свою очередь, Ферма подчеркнул, что любая связь между координатами «х» и «и» определяет кривую.
Используя эти идеи, он реструктурировал утверждения Аполлония об алгебраических терминах и восстановил некоторые из его потерянных работ..
Ферма указал, что любое квадратное уравнение в «х» и «у» может быть помещено в стандартную форму одного из конических сечений. Несмотря на это, Ферма никогда не публиковал свои работы на эту тему..
Благодаря своим достижениям, что Архимед мог решить только с большим трудом и для единичных случаев, Ферма и Декарт смогли решить это быстро и для большого числа кривых (известных теперь как алгебраические кривые).
Но его идеи получили всеобщее признание только благодаря усилиям других математиков во второй половине XVII в..
Математики Франс ван Скотэн, Флоримон де Бон и Йохан де Витт помогли расширить работу Декарта и добавили важный дополнительный материал.
влияние
В Англии Джон Уоллис популяризировал аналитическую геометрию. Он использовал уравнения, чтобы определить коники и получить их свойства. Хотя он свободно использовал отрицательные координаты, именно Исаак Ньютон использовал две наклонные оси, чтобы разделить плоскость на четыре квадранта.
Ньютон и немец Готфрид Лейбниц произвели революцию в математике в конце 17-го века, независимо продемонстрировав силу расчетов.
Ньютон продемонстрировал важность аналитических методов в геометрии и его роль в исчислении, когда он утверждал, что любой куб (или любая алгебраическая кривая третьей степени) имеет три или четыре стандартных уравнения для подходящих координатных осей. С помощью самого Ньютона шотландский математик Джон Стерлинг доказал это в 1717 году..
Аналитическая геометрия трех и более измерений
Хотя Декарт и Ферма предлагали использовать три координаты для изучения кривых и поверхностей в пространстве, трехмерная аналитическая геометрия развивалась медленно до 1730 года..
Математики Эйлер, Герман и Клеро создали общие уравнения для цилиндров, конусов и поверхностей вращения..
Например, Эйлер использовал уравнения для трансляций в пространстве, чтобы преобразовать общую квадратичную поверхность так, чтобы ее главные оси совпадали с осями координат..
Эйлер, Жозеф-Луи Лагранж и Гаспар Монж сделали аналитическую геометрию независимой от синтетической геометрии (не аналитической).
ссылки
- Развитие аналитической геометрии (2001). Восстановлено с encyclopedia.com
- История аналитической геометрии (2015). Восстановлено с maa.org
- Анализ (математика). Восстановлено с britannica.com
- Аналитическая геометрия. Восстановлено с britannica.com
- Декарт и рождение аналитической геометрии. Восстановлено с sciencedirect.com