Поделиться:
Правило Сарруса в том, что состоит и типы детерминант
Правило Сарруса он используется для вычисления результата определителей 3 × 3. Они используются для решения линейных уравнений и знать, совместимы ли они.
Совместимые системы позволяют легко получить решение. Они также используются для определения того, являются ли множества векторов линейно независимыми и образуют основу векторного пространства..
Эти приложения основаны на обратимости матриц. Если матрица регулярна, ее определитель отличается от 0. Если она особая, ее определитель равен 0. Определители могут быть вычислены только в квадратных матрицах.
Для вычисления матриц любого порядка может быть использована теорема Лапласа. Эта теорема позволяет упростить матрицы больших размерностей в суммах малых определителей, которые мы разлагаем из основной матрицы.
Подтверждает, что определитель матрицы равен сумме произведений каждой строки или столбца определителем ее прикрепленной матрицы.
Это сокращает детерминанты, так что определитель степени n становится n определителями n-1. Если мы последовательно применяем это правило, мы можем получить определители размерности 2 (2 × 2) или 3 (3 × 3), где гораздо легче вычислить.
Правило Сарруса
Пьер Фредерик Саррус был французским математиком 19-го века. Большинство его математических трактатов основаны на методах решения уравнений и вычисления вариаций, в рамках численных уравнений.
В одном из своих трактатов он раскрыл одну из самых сложных загадок механики. Чтобы решить проблемы сочлененных частей, Саррус ввел преобразование альтернативных прямолинейных движений в равномерные круговые движения. Эта новая система известна как механизм Сарруса.
Самое известное исследование, которое он дал этому математику, состояло в том, что он представил новый метод вычисления определителей в статье «Новые методы решения уравнений» («Новый метод решения уравнений»), которая была опубликована в 1833 год. Этот способ решения линейных уравнений известен как правило Сарруса..
Правило Сарруса позволяет вычислить определитель матрицы 3 × 3 без необходимости использовать теорему Лапласа, вводя гораздо более простой и более интуитивный метод. Чтобы иметь возможность проверить значение правила Сарруса, мы берем любую матрицу измерения 3:
Расчет его детерминанта будет производиться произведением его основных диагоналей, вычитая произведение из обратных диагоналей. Это будет следующим:
Правило Сарруса позволяет нам получить гораздо более простое видение при расчете диагоналей определителя. Это было бы упрощено добавлением первых двух столбцов к задней части матрицы. Таким образом, вы можете более четко увидеть, какие ваши основные диагонали, а какие обратные, для расчета продукта.
На этом изображении мы видим применение правила Сарруса, мы включаем строки 1 и 2 ниже графического представления исходной матрицы. Таким образом, главные диагонали - это три диагонали, которые появляются на первом месте..
Три обратных диагонали, в свою очередь, являются теми, которые появляются первыми сзади.
Таким образом, диагонали выглядят более наглядно, не усложняя разрешение определителя, пытаясь выяснить, какие элементы матрицы принадлежат каждой диагонали.
Как показано на рисунке, мы выбираем диагонали и рассчитываем полученное произведение каждой функции. Диагонали, которые отображаются синим цветом - это те, которые складываются. Для суммирования мы вычитаем значение диагоналей, которые выделены красным.
Чтобы упростить сжатие, мы можем использовать числовой пример вместо алгебраических терминов и подслов.
Если взять любую матрицу 3 × 3, например:
Чтобы применить правило Сарруса и разрешить его более наглядно, мы должны включить строки 1 и 2, как строки 4 и 5 соответственно. Важно удерживать строку 1 в 4-й позиции, а строку 2 в 5-й позиции. Потому что, если мы обменяемся ими, правило Сарруса не будет эффективным.
Чтобы вычислить определитель, наша матрица должна выглядеть так:
Для продолжения расчета умножим элементы основных диагоналей. Нисходящие, начинающиеся слева, примут положительный знак; в то время как обратные диагонали, начинающиеся справа, имеют отрицательный знак.
В этом примере синие будут иметь положительный знак, а красные - отрицательный. Окончательный расчет правила Сарруса будет выглядеть так:
Типы определителей
Определитель размерности 1
Если размер матрицы равен 1, матрица имеет следующий вид: A = (a)
Следовательно, его определитель будет следующим: det (A) = | A | = a
Таким образом, определитель матрицы A равен абсолютному значению матрицы A, которая в данном случае является.
Определитель размерности 2
Если мы перейдем к матрицам размерности 2, мы получим матрицы типа:
Где его определитель определяется как:
Разрешение этого детерминанта основано на умножении его главной диагонали, вычитая произведение из его обратной диагонали.
Как мнемоническое правило, мы можем использовать следующую диаграмму, чтобы запомнить ее определитель:
Определитель размерности 3
Если размер матрицы равен 3, полученная матрица будет иметь такой тип:
Определитель этой матрицы будет решен с помощью правила Сарруса следующим образом:
ссылки
- Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию студентов. Издательство Кембриджского университета.
- Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
- Дейв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Авол Ассен (2013) Исследование по вычислению детерминантов матрицы 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
- Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пропустить публикацию.
- Джесси Рассел (2012) Правило Сарруса.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Введение в линейную алгебру. ESIC Редакция.