3 системы линейных уравнений и способы их решения

линейные уравнения это полиномиальные уравнения с одним или несколькими неизвестными. В этом случае неизвестные не возводятся в степени и не умножаются между собой (в этом случае говорят, что уравнение имеет степень 1 или первую степень).

Уравнение - это математическое равенство, в котором есть один или несколько неизвестных элементов, которые мы назовем неизвестными или неизвестными в случае, если их несколько. Для решения этого уравнения необходимо выяснить значение неизвестных.

Линейное уравнение имеет следующую структуру:

в₀· 1 + а₁· X₁+ в₂· X₂+... +_N· X_N= б

Куда₀, в₁, в₂,...,_N являются действительными числами, из которых мы знаем их значение и называются коэффициентами; b также является известным действительным числом, которое называется независимым членом. И наконец они X₁, X_2,..., X_N которые известны как неизвестные. Это переменные, значение которых неизвестно.

Система линейных уравнений - это система линейных уравнений, в которой значение неизвестных одинаково в каждом уравнении..

Логически, способ решить систему линейных уравнений состоит в присвоении значений неизвестным, чтобы можно было проверить равенство. То есть неизвестные должны быть рассчитаны так, чтобы все уравнения системы выполнялись одновременно. Представим систему линейных уравнений следующим образом

в₀· 1 + а₁· X₁ + в₂· X₂ +... +_N· X_N = а_{n + 1}

б₀· 1 + б₁· X₁ + б₂· X₂ +... + б_N· X_N = б_{n + 1}

с₀· 1 + с₁· X₁ + с₂· X₂ +... + с_N· X_N = с_{n + 1}

... .

d₀· 1 + д₁· X₁ + d₂· X₂ +... + д_N· X_N = д_{n + 1}

 где_0, в₁,...,_N,б₀,б₁,..., б_N ,с₀ ,с₁,..., с_N и т. д. нам реальные цифры и неизвестные, чтобы решить X₀,..., X_N ,X_{n + 1}.

Каждое линейное уравнение представляет собой линию и, следовательно, система уравнений из N линейных уравнений представляет собой N прямолинейных в пространстве.

В зависимости от количества неизвестных, которое имеет каждое линейное уравнение, линия, которая представляет упомянутое уравнение, будет представлена ​​в другом измерении, то есть уравнении с двумя неизвестными (например, 2 · X₁ + X₂ = 0) представляет линию в двумерном пространстве, уравнение с тремя неизвестными (например, 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) будет представлен в трехмерном пространстве и т. Д..

При решении системы уравнений значения X₀,..., X_N ,X_{n + 1} случается быть точки разреза между линиями.

Решая систему уравнений, мы можем прийти к различным выводам. В зависимости от типа результата, который мы получаем, мы можем различить 3 типа систем линейных уравнений:

1- неопределенная совместимость

Хотя это может звучать как шутка, возможно, что при попытке решить систему уравнений мы придем к очевидности стиля 0 = 0.

Этот тип ситуации возникает, когда существуют бесконечные решения для системы уравнений, и это происходит, когда оказывается, что в нашей системе уравнений уравнения представляют одну и ту же линию. Мы можем увидеть это графически:

В качестве системы уравнений мы берем:

Имея 2 уравнения с 2 неизвестными для решения, мы можем представить линии в двумерной плоскости

Как мы можем видеть линии с одинаковыми значениями, поэтому все точки первого уравнения совпадают с точками второго уравнения, поэтому в нем столько точек разреза, сколько точек в линии, то есть бесконечности..

2- несовместимый

При чтении названия мы можем представить, что наша следующая система уравнений не будет иметь решения.

Если мы попытаемся решить, например, эту систему уравнений

Графически это будет:

Если мы умножим все члены второго уравнения, мы получим, что X + Y = 1 равно 2 · X + 2 · Y = 2. И если это последнее выражение вычитается из первого уравнения, мы получаем

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Или что то же самое

0 = 1

Когда мы находимся в такой ситуации, это означает, что линии, которые представлены в системе уравнений, параллельны, что означает, что по определению они никогда не срезаются и точки среза не существует. Когда система представлена ​​таким образом, она называется противоречивой независимой.

3- решительная поддержка

Наконец, мы приходим к случаю, когда наша система уравнений имеет единственное решение, к случаю, когда у нас есть линии, которые пересекаются и генерируют точку пересечения. Давайте посмотрим на пример:

Чтобы решить ее, мы можем добавить два уравнения, чтобы получить

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Если мы упростим, мы оставили

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Из чего мы легко выводим, что X = 2 и подставляя или X = 2 в любое из исходных уравнений, получаем Y = 3.

Визуально это будет:

Методы решения систем линейных уравнений

Как мы видели в предыдущем разделе, для систем с 2 неизвестными и 2 уравнениями, основанными на простых операциях, таких как сложение, вычитание, умножение, деление и подстановка, мы можем решить их за считанные минуты. Но если мы попытаемся применить эту методологию к системам с большим количеством уравнений и большим количеством неизвестных, вычисления станут утомительными, и мы можем легко ошибиться.

Чтобы упростить вычисления, существует несколько методов разрешения, но, несомненно, наиболее распространенными являются методы Крамера и устранение Гаусса-Иордана..

Крамерский метод

Чтобы объяснить, как применяется этот метод, важно знать, какова его матрица и как найти ее определитель, давайте сделаем скобки, чтобы определить эти два понятия.

матрица это не что иное, как набор чисел или алгебраических символов, расположенных в горизонтальных и вертикальных линиях и расположенных в форме прямоугольника. Для нашей темы мы будем использовать матрицу как более упрощенный способ выражения нашей системы уравнений.

Давайте посмотрим на пример:

Это будет система линейных уравнений

Эта простая система уравнений, которую мы можем суммировать, является операцией двух матриц 2 × 2, которая приводит к матрице 2 × 1..

Первая матрица соответствует всем коэффициентам, вторая матрица - неизвестные для решения, а матрица, расположенная после равенства, отождествляется с независимыми членами уравнений

определитель это операция, которая применяется к матрице, результатом которой является действительное число.

В случае матрицы, которую мы нашли в нашем предыдущем примере, ее определитель будет:

Определив понятия матрицы и определителя, мы можем объяснить, из чего состоит метод Крамера..

Этим методом мы можем легко решить систему линейных уравнений до тех пор, пока система не превосходит три уравнения с тремя неизвестными, поскольку вычисление определителей матрицы очень сложно для матриц 4 × 4 или выше. В случае наличия системы с более чем тремя линейными уравнениями рекомендуется метод исключения Гаусса-Иордана.

Продолжая предыдущий пример, с помощью Крамера мы просто должны вычислить два детерминанта, и с его помощью мы найдем значение наших двух неизвестных.

У нас есть наша система:

И у нас есть система, представленная матрицами:

Значение Х найдено:

Просто при вычислении определителя, расположенного в знаменателе деления, мы заменили первую коммуну на матрицу независимых членов. И в знаменателе деления у нас есть определитель нашей исходной матрицы.

Выполняя те же вычисления, чтобы найти Y, получаем:

Устранение Гаусса-Иордании

Мы определяем расширенная матрица к матрице, которая получается из системы уравнений, где мы добавляем независимые члены в конце матрицы.

Метод исключения Гаусса-Джордана состоит в том, чтобы посредством операций между строками матрицы преобразовать нашу расширенную матрицу в гораздо более простую матрицу, где у меня есть нули во всех полях, кроме диагонали, где я должен получить некоторые. Следующим образом:

Где X и Y будут действительными числами, которые соответствуют нашим неизвестным.

Давайте решим эту систему, исключив Гаусса-Джордана:

Нам уже удалось получить ноль в нижней левой части нашей матрицы, следующий шаг - получить 0 в верхней правой части.

Мы достигли 0 в верхнем левом углу матрицы, теперь нам нужно только преобразовать диагональ в единицы, и мы уже решили нашу систему Гауссом-Иорданом.

Поэтому мы приходим к выводу, что:

ссылки

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Системы линейных уравнений (без даты). Восстановлено от uco.es.
4. Системы линейных уравнений. Глава 7. (без даты). Получено из sauce.pntic.mec.es.
5. Линейная алгебра и геометрия (2010/2011). Системы линейных уравнений. Глава 1. Отдел алгебры. Университет Севильи. Испания. Восстановлено из algebra.us.es.