Технические методы подсчета, приложения и примеры

методы подсчета Это ряд вероятностных методов для подсчета возможного количества расположений в наборе или нескольких наборах объектов. Они используются, когда создание учетных записей вручную усложняется из-за большого количества объектов и / или переменных.

Например, решение этой проблемы очень простое: представьте, что ваш начальник просит вас подсчитать последние продукты, поступившие за последний час. В этом случае вы можете пойти и посчитать продукты по одному.

Однако представьте, что проблема заключается в следующем: ваш начальник просит вас подсчитать, сколько групп из 5 продуктов одного типа можно сформировать с теми, кто прибыл в последний час. В этом случае расчет усложняется. Для этого типа ситуаций используются так называемые методы подсчета.  

Этих методов несколько, но наиболее важные из них разделены на два основных принципа: мультипликативный и аддитивный; перестановки и комбинации.

индекс

• 1 мультипликативный принцип
  • 1.1 Приложения
  • 1.2 Пример
• 2 Аддитивный принцип 
  • 2.1 Приложения
  • 2.2 Пример
• 3 перестановки
  • 3.1 Приложения
  • 3.2 Пример
• 4 комбинации
  • 4.1 Приложения
  • 4.2 Пример
• 5 ссылок 

Мультипликативный принцип

приложений

Мультипликативный принцип, вместе с добавкой, являются основными для понимания работы методов подсчета. В случае мультипликатива он состоит из следующего:

Представьте себе действие, которое включает в себя определенное количество шагов (сумма помечена как «r»), где первый шаг может быть сделан из форм N1, второй шаг из N2 и шаг «r» из форм Nr. В этом случае действие может быть выполнено из числа форм, полученных в результате этой операции: N1 x N2 x ... .x Nr форм

Вот почему этот принцип называется мультипликативным и подразумевает, что каждый шаг, необходимый для выполнения действия, должен выполняться один за другим.. 

пример

Давайте представим человека, который хочет построить школу. Для этого учтите, что основание здания может быть построено двумя разными способами: цементным или бетонным. Что касается стен, они могут быть сделаны из самана, цемента или кирпича.

Что касается кровли, то она может быть изготовлена ​​из цемента или оцинкованного листа. Наконец, окончательная покраска может быть выполнена только одним способом. Возникает следующий вопрос: сколько путей нужно построить школе??

Сначала рассмотрим количество ступеней, которыми будут являться основание, стены, крыша и картина. Всего 4 шага, поэтому r = 4.

Следующее будет перечислять N:

N1 = способы построения базы = 2

N2 = способы возведения стен = 3

N3 = способы сделать крышу = 2

N4 = способы сделать краску = 1

Поэтому количество возможных форм будет рассчитываться по формуле, описанной выше:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 способов завершения школы.

Аддитивный принцип

приложений

Этот принцип очень прост и состоит в том, что в случае наличия нескольких альтернатив для выполнения одной и той же деятельности возможные способы состоят из суммы различных возможных способов сделать все альтернативы..

Другими словами, если мы хотим выполнить действие с тремя альтернативами, где первая альтернатива может быть выполнена в M формах, вторая в N формах и последняя в W формах, действие может быть сделано из: M + N + ... + W форм.

пример

Представьте себе на этот раз человека, который хочет купить теннисную ракетку. Для этого у него есть три бренда на выбор: Wilson, Babolat или Head.

Когда он идет в магазин, он видит, что ракетка Уилсона может быть куплена с ручкой двух разных размеров, L2 или L3 в четырех разных моделях, и может быть натянута или без натяжения.

Ракетка Babolat, с другой стороны, имеет три ручки (L1, L2 и L3), есть две разные модели, и она также может быть натянута или без струн.

Головная ракетка, с другой стороны, только с одной ручкой, L2, в двух разных моделях и только без струн. Вопрос в том, сколько способов у этого человека купить его ракетку.?

M = количество способов выбора ракетки Уилсона

N = количество способов выбора ракетки Babolat

W = количество способов выбрать головную ракетку

Мы делаем принцип множителя:

М = 2 х 4 х 2 = 16 форм

N = 3 х 2 х 2 = 12 форм

W = 1 x 2 x 1 = 2 формы

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 способов выбора ракетки.

Чтобы узнать, когда следует использовать мультипликативный принцип и аддитив, вам просто нужно посмотреть, есть ли у действия последовательность шагов, и если есть несколько альтернатив, аддитив.

перестановки

приложений

Чтобы понять, что такое перестановка, важно объяснить, что такое комбинация, чтобы дифференцировать их и знать, когда их использовать..

Комбинация - это расположение элементов, в котором нас не интересует положение, которое занимает каждый из них..

Перестановка, с другой стороны, была бы расположением элементов, в которых мы заинтересованы в положении, которое занимает каждый из них.

Давайте приведем пример, чтобы лучше понять разницу.

пример

Представьте себе класс с 35 учениками и со следующими ситуациями:

1. Учитель хочет, чтобы трое его учеников помогли ему поддерживать чистоту в классе или доставлять материалы другим ученикам, когда он в этом нуждается..
2. Учитель хочет назначить делегатов класса (президента, ассистента и финансиста).

Решение будет следующим:

1. Представьте, что голосуя за Хуана, Марию и Люсию выбирают для очистки класса или доставки материалов. Очевидно, что из 35 возможных студентов могли быть сформированы другие группы из трех человек..

Мы должны задать себе следующий вопрос: важен ли порядок или положение, которое каждый из студентов занимает на момент их выбора??

Если мы подумаем об этом, то увидим, что это на самом деле не важно, так как группа позаботится об обеих задачах одинаково. В данном случае это комбинация, так как нас не интересует положение элементов.

2. Теперь представьте, что Джон выбран президентом, Мария - помощником, а Люсия - финансовым..

В этом случае, будет ли порядок иметь значение? Ответ - да, потому что если мы изменим элементы, результат изменится. То есть, если вместо того, чтобы назначить Хуана президентом, мы назначим его помощником, а Марию - президентом, окончательный результат изменится. В этом случае это перестановка.

Как только различие понято, мы получим формулы перестановок и комбинаций. Однако сначала мы должны определить термин «n!» (В факториале), поскольку он будет использоваться в различных формулах..

n! = до произведения от 1 до n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Используя это с действительными числами:

10! = 1 х 2 х 3 х 4 х ... х 10 = 3 628 800

 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х ... х 5 = 120

Формула перестановок будет следующей:

nPr = n! / (n-r)!

С его помощью мы можем выяснить, где порядок важен, а n элементов различны.

комбинации

приложений

Как мы уже отмечали ранее, комбинации - это механизмы, в которых мы не заботимся о положении элементов..

Его формула следующая:

nCr = n! / (n-r)! r!

пример

Если есть 14 учеников, которые хотят добровольно убирать в классе, сколько групп по очистке можно сформировать из 5 человек в каждой группе??

Следовательно, решение будет следующим:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 групп

ссылки

1. Джеффри Р.С.., Вероятность и искусство суждения, Издательство Кембриджского университета. (1992).
2. Уильям Феллер, «Введение в теорию вероятностей и ее приложения»", (Том 1), 3-е изд, (1968), Wiley
3. Финетти, Бруно де (1970). «Логические основы и измерение субъективной вероятности». Психологический Акт.
4. Хогг, Роберт В.; Крейг, Аллен; Маккин, Джозеф В. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Верхняя Река Седло: Пирсон.
5. Франклин Дж. (2001) Наука о гипотезе: доказательства и вероятность перед Паскалем,Университетская пресса Джонса Хопкинса.